热传导方程有限差分法的MATLAB实现.pdfVIP

2009年7月 咸阳师范学院学报 Jul．2009 第24卷第4期 Journal Normal V01．24No．4 University ofXianyaag [理论物理与应用物理学研究] 热传导方程有限差分法的MATLAB实现 史 策 (西安建筑科技大学理学院，陕西西安710055) 摘 要：对于有界热传导齐次方程的混合问题．用分离变量法求解往往很复杂。为了更好地 理解热传导方程的解，使用MATLAB软件将方程的解用图像表示出来。通过区域转换的思想， 利用MATLAB编程实现一定区域内热传导方程的有限差分方法，数值表明了方法的可行性和 稳定性。 关键词：热传导方程；有限差分；MATLAB 中图分类号：0552 文献标识码： A 近些年来。求解热传导方程的数值方法【ll取得进 行。 鉴于以上情况．本文考虑以下边界值问题： 展，特别是有限差分区域分解算法121，此类算法的特 等彳詈问舢 点是在内边界处设计不同于整体的格式．将全局的 隐式计算化为局部的分段隐式计算。使人从感觉上 tt[矿O，uI，产0，t0 认为这样得到的解会比全局隐式得到的解的精度 u驴sin(平)，o矧 差，但大量的数值实验表明事实正好相反。用区域分 利用区域转化的思想通过极坐标对求解区域进行转 解算法求得的解的精度更好。 化，求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代 MATLAB具有强大的图形绘制功能【31．为科学 替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等 计算和图形处理提供了很大的方便。用户只须指定 方法．把控制方程中的导数用网格节点上的函数值 绘图方式，并提供充足的绘图数据，用很少的程序指 的差商代替进行离散。从而建立以网格节点上的值 令就可得到直观、形象的图形结果。因此。近些年 为未知数的代数方程组。 来。越来越多的人开始使用MATLAB来求解热传 1 求解热传导方程的基本思想 导方程14’5】。借助MATLAB的数值计算和图形处理 基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点 技术[61。我们可以绘制出热传导方程数值解的二维、三 构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点； 维图形．从而可以更好地理解热传导方程解的意义。 把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定 一维热传导方程婴=舻霎譬， 义的离散变量函数来近似：把原方程和定解条件中 Ot d髫。 的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原 是最简单的偏微分方程之一。其定解问题的数值解 微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组， 法主要有有限元法和有限差分法等。对于有限元法 即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题 在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以 来说，适用处理复杂区域、精度可选；缺点在于内存 从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解【8期。 和计算量巨大。不易编程实现。对于有限差分法来