1991-2015年全国初中数学联赛试题 .doc

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． 设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是 （A）3 ； （B）； （C）2； （D）． 　　　　　　　　　　　　　　　 答（ ） 如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是 10； （B）12； （C） 16； （D）18． 　　　　　　　　　　　　　答（ ） 方程的解是 （A）； （B）； （C）或； （D）． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 答（ ） 已知：（n是自然数）．那么，的值是 （Ａ）；　　　　　　　（Ｂ）； （Ｃ）；　　　　　（Ｄ）． 答（　　　） 若，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（　　　） 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么 的最大值是 （Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）１． 答（　　　） 如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是 （Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） 在锐角ΔABC中，，，，ΔABC的外接圆半径≤1，则 （Ａ） c 2 ； （Ｂ）0 c ≤； 答（ ） 　（C）c 2； 　　　　　（D）c = 2． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 　　二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是 ． ２．已知关于x的一元二次方程没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么， ． 3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x ０，恒成立，则 　　　　　　　． ４．四边形ABCD中，∠ ABC，∠BCD，AB，BC， CD = 6，则AD = ． 第二试 x + y，　x － y，　x y，　 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）． 二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且 BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）． 求证：BF＝AF＋CF 　三、将正方形ABCD分割为 个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数． 1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题的非负整数的个数是 (A)1; (B)2; (C)3; (D)4. 2.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是 (A) (B)= (C); (D)不确定. 3.若,则的个位数字是 (A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( ) 4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于,则这个多边形的边数必为 (A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( ) 5.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像分别相交于A点和C点.若和的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是 (A) (B) (C) (D)不确定 答( ) 6.在一个由个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( ) 7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=2CD, ,又E是底边