2000-2015年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(试题全与答案分开) .doc

2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷 （2011年12月4日 上午9:00~11:00） 题号 一 （1~8） 二 总分 9 10 11 12 得分 评卷 复核 解答本试卷可以使用科学计算器 填空题（每题分，共分） 已知关于的两个方程：①，②，其中。若方程①中有一个根是方程②的某个根的倍，则实数的值是___________。 已知梯形中，//，，，，，则梯形的面积为_______________。 从编号分别为，，，，，的张卡片中任意抽取张，则抽出卡片的编号都大于等于的概率为______________。 将个数，，，，，，，排列为，，，，，，，，使得的值最小，则这个最小值为____________。 已知正方形的边长为，，分别是边，上的点，使得，，线段与相交于点，则四边形的面积为_____________。 在等腰直角三角形中，，是内一点，使得，，，则边的长为______________。 有名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得分，平局得分，负得分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第名的得分是最后五名选手的得分和的，则第名选手的得分是_________。 已知，，，都是质数（质数即素数，允许，，，有相同的情况），且是个连续正整数的和，则的最小值为_________。 解答题（第，题，每题分，第，题，每题分，共分） 如图，矩形的对角线交点为，已知，角的平分线与边交于点，直线与相交于点，直线与相交于点M。求证：。 解 对于正整数，记。求所有的正整数组，使得，且。 解 （1）证明：存在整数，，满足； （2）问：是否存在整数，，满足证明你的结论。 解 对每一个大于的整数，设它的所有不同的质因数为，，，，对于每个，存在正整数，使得， 记例如，。 （1）试找出一个正整数，使得； （2）证明：存在无穷多个正整数，使得。 解  2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷 一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分） 1. 已知，则_________。 2. 满足方程的所有实数对为__________。 3. 已知直角三角形ABC中，，CD为的角平分线，则_________。 4. 若前2011个正整数的乘积能被整除，则正整数的最大值为________。 5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为_________。6. 如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是_________。 7. 整数满足，且关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则________。8. 已知实数满足且。设是方程的两个实数根，则平面直线坐标系内两点之间的距离的最大值为_______。 9. 如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于_______。 10. 设是整数，，且能被9整除，则的最小值是_________，最大值是__________。解答题（每题15分，共60分） 11. 已知面积为4的的边长分别为，AD是的角平分线，点是点C关于直线AD的对称点，若与相似，求的周长的最小值。 12. 将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得7个三位数和都能被11整除，求三位数的最大值 13. 设实数满足，且，求的最大值和最小值 14. 称具有形式的数为“好数”，其中都是整数 （1）证明：100，2010都是“好数”。 （2）证明：存在正整数，使得是“好数”，而不是“好数”。 2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题 （2009年12月6日） 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b，定义,a?b=a(a+b) +b, 已知a?2.5=28.5，则实数a的值是 。 2、在三角形ABC中，，其中a,b是大于1的整数，则b-a= 。 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 4、已知关于x的方程有实根，并且所有实根的乘积为?2，则所有实根的平方和为 。 5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为 。 6、设a，b是方程的两个根，c，d是方