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200,则 ( A )
A.24. B. 25. C. . D. .
2.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC= ( C )
A.. B. . C. . D. .
3.用表示不大于的最大整数,则方程的解的个数为 ( C )
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.
4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为 ( B )
A.. B. . C. . D. .
5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则CBE= ( D )
A.. B. . C. . D. .
6.设是大于1909的正整数,使得为完全平方数的的个数是 ( B )
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.已知是实数,若是关于的一元二次方程的两个非负实根,则的最小值是____________.
2. 设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为和,则四边形DECF的面积为______.
3.如果实数满足条件,,则______.
4.已知是正整数,且满足是整数,则这样的有序数对共有___7__对.
第二试
一.(本题满分20分)已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B,与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
(1)证明:⊙P与轴的另一个交点为定点.
(2)如果AB恰好为⊙P的直径且,求和的值.
解 (1)易求得点的坐标为,设,,则,.
设⊙P与轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以OA×OB=OC×OD,则.
因为,所以点在轴的负半轴上,从而点D在轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1).
(2)因为AB⊥CD,如果AB恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点的坐标为,
即.
又,所以
,
解得.
二. (本题满分25分) 已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证:EF∥AB.
解 因为BN是∠ABC的平分线,所以.
又因为CH⊥AB,所以,
因此.
又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以,因此C、F、H、B四点共圆.
又,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上.
同理可证,点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.
又AB⊥CH,所以EF∥AB.
三.(本题满分25分)已知为正数,满足如下两个条件:
①
②
是否存在以为三边长的三角形?如果存在,求出三角形的最大内角.
解法1 将①②两式相乘,得,
即,
即,
即,
即,
即,
即,即,
即,
所以或或,即或或.
因此,以为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90°.
解法2 结合①式,由②式可得,
变形,得 ③
又由①式得,即,
代入③式,得,
即.
,
所以或或.
结合①式可得或或.
因此,以为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90°.
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题:(本题满
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