2015 江苏省数学学会初中奥林匹克数学夏令营 初中数学竞赛中的平面几何 .doc

初中数学竞赛中的平面几何（学生班级用） 满涛 2006年7月 亲爱的同学们，欢迎你们参加江苏省初中生数学夏令营。数学学习是艰苦的，也是美妙有趣的，几何问题特别能够体现数学的美妙。竞赛中的几何又比我们平时学习的几何要高一个层次，但又能体现她的美丽。单墫教授曾经在我本科学习的时候提及了一本小书——《平面几何中的小花》，从那时起，我喜欢上几何…… 对于要参加江苏省初中生数学竞赛的你们，我从近两年的竞赛真题讲起，从分析竞赛真题到触类旁通，归纳出： 如何复习全面的几何知识 如何掌握解决几何问题的一般方法 几何问题需要的能力 与几何问题相关的其他问题 ▲ 面积问题 1、（20届省竞赛）如图，△ABC中，AD、BE相交于点O，BD ：CD＝3 ：2， AE：CE = 2 ：1．那么S⊿BOC ：S⊿AOC ：S⊿AOB 为 (A)2 ：3 ：4 (B)2 ：3：5 (C)3 ：4：5 (D)3 ：4 ：6 从本题推想到三角形的面积，和求面积的比例方法。 （中线相交、中线的比，面积问题系列） 同样，2004年第19届的一道问题 2、如图，正方形ABCD面积为144cm2，P为BC边上的任意一点，E为AP的中点，F为PD上的一点，且DF=2FP，则△PEF的面积是_____________ cm2． 还有几道关于三角形的问题 3、（20届省竞赛）下面有三个判断： (1)存在这样的三角形，它有两条角平分线互相垂直． (2)存在这样的三角形，它的三条高的比是1 ：2 ：3． (3)存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半． 其中正确的判断有 ( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、下列4个判断： 有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； 三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等； 一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。 上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例。 ▲ 面积与最优化有关的问题 5、（20届省竞赛）平行四边形ABCD中，AB = 6，BC = 4，∠ABC = 60°．要用一块矩形铝板切割出这样的平行四边形并使废料最少，则矩形的面积最小为 ． 6、将长为156 cm的铁丝剪成两段，每段都围成一个边长为整数(cm)的正方形，则这两个正方形面积和的最小值是 cm2． 7、如果△ABC的两边长分别为a、b，那么△ABC的面积不可能等于 ( ) (A) (a2 + b2) (B) (a2 + b2 ) (C) (a + b )2 (D) ab 由这一题目联想到2004年初二的一道试题 8、凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16,问：对角线AC,BD为何值时，四边形ABCD面积最大？面积最大值是多少？ 同样是给几个联加号，应该同样考虑不等式 9、四面体DABC的体积为，且满足则 。 10、长边与短边之比为2：1的长方形为“标准长方形”。约定用短边分别为a1、a2、a3、a4、a5(其中a1＜a2＜a3＜a4＜a5的5个不同“标准长方形”拼成的大长方形记为（a1、a2、a3、a4、a5），如图，短边长分别为1，2，2.5，4.5，7的“标准长方形”拼成的大长方形记为（1，2，2.5，4.5，7），解答下列问题： （1）写出长方形（1，2，5，a4，a5）中a4和a5可取的值及相应的面积不同的长方形（用上述长方形的记法表示出来），并画出其中两个符合要求的长方形示意图。 （2）所有这些长方形（1，2，5，a4，a5）的面积的最大值是多少？ ▲ 与角度有关的问题 11、如图，AB为⊙O的直径，诸角p、q、r、s之间的关系 (1) p = 2q；(2) q = r；(3) p + s = 180° 中，正确的是 ( ) (A) 只有(1)和(2) (B) 只有(1)和(3) (C) 只有(2)和(3) (D) (1)、(2)和(3) 12、如图，DC∥AB，∠BAF =∠BCD，AE⊥DE，∠D = 130°，则∠B = . 13、在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，∠ABC700，则∠ADC等于