2015年力学竞赛理力模拟题1-4解答 .doc

2011年力学竞赛理力模拟题1-4解答 2011年力学竞赛理力模拟题一 解答 一、杂技 解：（1）关键词：摩擦，力矩，平衡 （2）分析圆盘（图1） 图1 图2 图3 联立解之：FS=19.6N FN=169.74N FSmax=169.74×0.2=33.9N FS≤FSmax 杆能在水平位置平衡 (3) 分析圆盘（图2） ∑Fx=0 FScos30 o+FNsin30o–FAx=0 ∑Fy=0 –FSsin30 o+FNcos30o–FAy–G=0 ∑Mo(F)=0 FS×R–e×FAy=0 摩擦条件 FS=f×FN 联立解之：FAx=360.5N FAY=214.2N 分析杆AB（图3） ∑MB(F)=0 W×x–FAx×a–FAy3a=0 FAxa?FAy W 3a ∑Fx=0 FS+FBA–Gsin30o=0 ∑Fy=0 FN–Gcos30o=0 ∑Mo(F)=0 FS×R–FBA×esin30o=0 x = = 48.766 (cm) 他能走到距D点48.766 cm处而圆盘保持不动。 四、脉博跳动次数 解：（1）将这个半圆薄壁筒倒过来放置，并轻轻扰动，则它将作周期性的摆动，故可以用作计时单位，所以，能够利用这个半圆薄壁筒来估算自己的脉搏跳动情况。 （2）将这个半圆薄壁筒倒过来放置在地面上，则它摆动。具体原理如下： 考虑到整个薄壁筒的转动惯量为MR2，利用负质量法可得： JC?(2m)R?(2m)(2R)?(?JC)?(?m)(4R) 22 即，这半个薄壁圆筒对质心惯性矩JC?mR(1?4)，利用平行轴定理可得，它对 222 对面接触点的惯性矩为JA?2mR(1?2)； 2 当它摆动角度?（??1）时，具有动能 T?JA??/2 2 ?)?mgR(2)??具有重量势能： U?mgR(2)(1?cos 摆动过程中机械能守恒，即T?U?C，或者 ddt 2 2 (T?U)?0； ???mgRJ?(2)??0，将J代入并解得该微分方程的解为： 故， ?AA ??acos?nt?bsin?nt， 其中?n2? mgRJA ( 2 ? )? gR(??2) 巧妙设计R就可以用于脉搏的计数。 （3）为了计数方便，可巧妙设计使得摆动一个周期为3s， g(??2)R ?2?3 ?R?1.71 m 这样让薄壁圆筒摆动一个周期就是3s，假如期间脉搏跳动的次数为m（可以多次数，并取平均值），则一个人的脉搏频率为20mHz，或者说他1分钟 m dvdt ?F?vr 其中F?mgsin??f,vr?u?v，是v球体中心速度，是u增加质量的速度（此处为零）。 f为摩擦力。 因此有： m dvdt ?mgsin??f?vr 25 dmdt dvrdt 由相对质心的动量矩定理得 J??fr，其中J? dvdt 57 15 mr2,?? 最后得球心的运动微分方程： ?gsin?? vk 2 140r? kt 2915 ??2?2714 sin???r0?kt??r0?r0?kt?? 解方程得： v? 29k?? 10g 八、四人追车 答案：（1）动量守衡。 （2）假设第3个人登上去坐下后，车厢的速度为u， 根据动量守衡： 得 u? (M?2m?m3)u?Mv0?4mv0?2.2m3v 24mv0?2.2m3v0 22m?m3 又 u?1.15v0 由上面两式得：m3?1.24m， m4与m没有关系。 （3）假设第4个人登上去坐下后，车厢的速度仍然为v?1.15v0，所以如果其他条件不变他的质量对速度没有变化。 v0 九、碰撞 解：分析：塑性碰撞可看成是一个约束，碰撞前后为一过程，碰撞前和碰撞后的角速度为?0，?1。碰撞结束后上滚圆柱体为定轴转动，设滚动结束后其角速度为? 2。滚动过程的任意 位置的角速度为?，问题就可解了。 （1）碰撞过程（图b）开始?0，结束?1。碰撞前后圆柱对A的动量矩守恒有： Mv0?R?h??J0?0?JA?1 式中 v0?R?0,JA?得碰撞终了时圆柱的角速度：?1? 3R?2h3R 32 MR, 2 ?0 （2）滚上过程，碰撞后A处无滑动，圆柱绕A转动，由机械能守恒有： 12JA? 21 ?MgR? 12 JA? 22?Mg?R?h? 要使圆柱能够滚上台阶，须使滚上后的角速度?2满足条件： ?2? ? ?? 因此得： ?00 ??? 在滚上过程的任一位置，圆柱的角速度为?，法向