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四边形中类比探究问题 1.(2012年河北省中考第26题)如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，． 探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________． 拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0） （1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD； （2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值； （3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值． 图1 图2 ◆满分解答:探究 AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．拓展 （1）S△ABD＝，S△CBD＝． （2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得．所以．由于AC边上的高，所以x的取值范围是≤x≤14．所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．（3）x的取值范围是x＝或13＜x≤14．发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为． ◆满分解答 ∴△ABF≌△ADE(ASA)．∴BF＝DE，∠F＝∠AED. ∵AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE.∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM， ∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM＋∠EAM＝∠BAM＋∠FAB＝∠FAM. ∴∠F＝∠FAM.∴AM＝FM.∴AM＝FB＋BM＝DE＋BM. (3)(1)成立；(2)不成立． ◆强化训练 1.（2014?浙江宁波，第25题）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法： 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． （1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种） （2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值； （3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长． 2.如图①，已知，在等腰直角△ABC中，∠BAC = 90°，点D在BC上．以AD为边作正方形ADEF，连接CF． 第3题图 (1) 问题解决 求证：CF =BD； (2) 问题变式 如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF、BC、CD三条线段之间的关系并说明理由； (3) 问题拓展 如图③，已知，点D是等边△ABC的边BC延长线上的一点，连接AD，以AD为边作菱形ADEF，并且使∠FAD =60°，CF垂直平分AD，猜想CG与FG之间的数量关系并证明你的结论． ◆强化训练 1.满分解答 （1）如图2作图， （2）如图3 ①、②作△ABC． ①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20． ②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40． （3）如图4，CD、AE就是所求的三分线． 设∠B=a，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a， 此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC， 设AE=AD=x，BD=CD=y， ∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2x=（x+y）：2， 所以联立得方程组，解得 ，即三分线长分别是和． 2.满分解答 (1)证明：∵∠BAC=90°，AB =AC，∴∠ABC =∠ACB=45°， ∵四边形ADEF是正方形，∴AD =AF，∠DAF=90°，∴∠BAC =∠BAD +∠DAC=90°， ∠DAF =∠CAF +∠DAC=90°，∴∠BAD =∠CAF， 在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS）.∴CF =BD. CF =BC-CD，理由：∵∠BAC =∠DAF=90°， ∴∠BAC +∠CAD =∠DAF +∠CAD，即∠BAD =∠CAF， 在△BAD和△CAF中，，∴△BAD ≌ △CAF（SAS）.∴AD =CF，∴CF =BC+CD. CG =，∵CF垂直平分AD，∴AC =DC，∴∠CAD =∠CDA， 在等边△ABC中，∠ACB =