利用格林公式计算面积的一般表达式.pdfVIP

科技信息 高校理科研究 利用格赫公式计算面积昀一般表达式 长江大学电子信息学院10801班陈聪 [摘要]本文给出利用格林公式计算面积的一般表达式，证明其正确性，与教科书中的计算实例进行比较，结果表明该表达式是有 效的。 【关键词】格林公式 面积计算 应用 格林公式建立了闭区域D上二重积分与D的边界曲线L上第二 类曲线积分之间的联系，即若Pky)，Q(x，y)在闭区域D上连续，且有连续 - ，2” 2寺J。(ab+nbcoso—m∞ine)do=伽b 的一阶偏导数，则有』(警一等)dxdy=』Pdx+Qd，，其中L为区域。取 iii)当c=3时，有 正向的边界曲线。利用格林公式计算面积是其基本应用之一。常见教科 书的面积计算公式为【l】： 假 dy¨J=ZX+n ∽c。=警=z舻等叫，故{盏= 令P=一y，Q=x，贝4 导出公式 ㈩ 』蛐=争卜一曲 f蛐=}f(2x+州y+(m_y)d)【 (4) 1．利用格林公式计算面积的一般表达式 特殊地，m=n=O时有 我们认为(1)式只为一个特例。。事实上，只要P是y的线性函数，只 要Q是x的线性函数，面积计算公式就成立。我们令P=c2y+m，Q=c。x+n， (5) 则面积计算公式可写成如下一般式 fdxdy=}f(_y)心2xdy 此时： 』dxdr2}!(c拶+m)dx+(e-x+n)dr (2) A=}F(蜥n20+2如cos猢o 式中c=cr-c“c一≠c2)，m，n为任意常数。当m=n=0时，即为公式(1)。 证明：由格林公式有 =芈』-(cosⅥ)do-订ab m=詈吐c乒詈q，故{=?“ }卜+州x憎蜉去』(掣一掣舾=』axa， 证毕。 从而 2．举例 下面我们通过教科书中的一道例题【嵊验证。 jdxdy=}f(x+n)dy+(一2y+州x 例：求椭圆x=acos0，v=bsine所围成的图形面积A。 解法一：由公式(1) =}r油+bsin20+bncoso一。sin0)de：霄ab A=争fxa，一，ax=}』：”c幽c。sz。+曲si拍，de=争曲fde=础 方法二：由公式(2) (c)c1=4，cFl等等。 i)当c=1时，有两种情况：c2=0，cl=1；cF一1，cl=O，则有阳： 对于ct，cz的其它取值情况，大家可以自己验证。 小结 Idxdy=fxdy=f(-y№ (3) 本文给出了利用格林公式计算面积的一般式，通过与教科书中的