完全椭圆积分在物理学中的应用_田硕.pdfVIP

中国西部科技 2009年3月（上旬）第08卷第07总 期 第168期 完全椭圆积分在物理学中的应用 田 硕1 田 睿2 （1.郑州航空工业管理学院数理系，河南 郑州 450015；2.河南工业职业技术学院基础部，河南 郑州 473009） 摘 要：本文阐述了两类完全椭圆积分的表述形式以及求解方法，对其在物理学中的常见应用进行分析阐述，并举出利 用完全椭圆积分求解的实例。 关键词：完全椭圆积分；周期；电势；磁场 Abstract:This article expound the expression and solution of two complete elliptic integral means,and analyse the application of them in physics.This article give some examples which are solved by means of complete elliptic integral Key words:Complete elliptic integral;Period;Electric potential;Magnetic field 1 完全椭圆积分 示出它们的结果的形式，并且可以达到一定的精度。 在数学中，把形如 的积分，称为椭圆积 2 物理中常见的利用完全椭圆积分的实例 分，其中R是x、y有理函数，P(x)是x的三次或四次多项2.1 计算单摆周期的精确解 式，它可以化为一些能用初等函数表示的积分。 如图所示，为单摆的模型，整个摆在竖直平面内的振 常见的椭圆积分有以下两类： 动方程为： 当 很小时， ，这时方程（10）的解为简谐运动 分别称为Legendre第一、第二类椭圆积分。其中，数方程： k为模数，且 ﹤1，当 时，可变为： 其中， 为角频率， 为振幅，振动周期 。 选取质点m静止的位置为势能零点，当质点偏离 角 时，根据能量守恒定律有： 上述两式分别称为第一、第二类完全椭圆积分，并且 ，其中 ，代入整 结果通常可以表示为级数的形式，既： 理得： 由上式可得： 其中±号表示质点远离和靠近平衡位置。 因此我们可以由确定的k值，通过查椭圆积分表可以得 解微分方程可得单摆的摆动周期为： 到K和E的值，并且可以达到相当的精度。 且由上述式子求导可得： 令 ，（即令 ﹤1）， 且 时， ， 时， 。代入上式经整理得： 我们对一些物理过程，需要建立非线性方程进行求解， 这类求解比较麻烦，但只要我们能把这类求解的结果表示成 完全椭圆积分的形式，我们就可以根据上面的推导用级数表 （ ） 收稿日期：2009-01-2修回日期：3 2009-02-20 作者简介：田硕（1980-），男，河南南阳籍，本科，助教。 90 教育与人才 可见，当 很小时，上式可等价于 ，这就是 ,当a=0,或a=R时,可直接代入公式计算得,