定比分点公式的应用及类比推理.docVIP

定比分点公式的应用及类比推理 线段的定比分点坐标公式：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面内两个定点，点P0（x0，y0）分有向线段所成的比为，则 有 （－1） 而 特别地，当点P0为内分点或者与点P1重合时，恒有≥0，当点P为外分点时，恒有＜0（≠－1）。 定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系。灵活应用这个公式，可使解题过程简洁明快，充分展现思维的独创性。下面举例说明它在解题中的应用。 用于解决不等式问题 例1.已知，求证：。 证明：设是数轴上的三点，，则 是的内分点， 在-1与1之间，即。 用于求解数值的范围 例2.已知求证：。 证明：设是数轴上的三点，定比分点，则定比 的外分点，则 。 用于求函数的解析式 对于函数y=f(x),如果能够化为，就与的形式完全相同（只须把t(x)看成），用数轴上两点P1、P2分别表示m、n，不妨设mn，P点表示y，且，则当t(x)0时，myn;当t(x)=0时，y=m;当t(x)0时，ym或ym 。 例3.已知二次函数f(x)满足条件：(1) f(-1)=0；(2)对一切xR，都有成立，求f(x)的解析式。 本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐，有些学生因为综合能力差，听完讲解后仍然似懂非懂，但如果运用定比分点公式解题则非常简单： 解：由,可设数轴上的点P1(x,0)、P(f(x),0)，,且， 则f(x)=，因为f(－1)=0 ,所以,解得 ＝1， 所以 。 四、定比分点公式的类比推理 从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n项和与项数n的关系等问题，具有很明显的相似之处。 1．平面几何中的定比分点： 命题1：设梯形ABCD的上、下底边长分别为l1、l2 若平行于底边的截线EF把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为（-1），则EF的长l=(≥0)。 特别地，（1）当l1=l2时，条件为一平行四边形，结论仍成立； （2）当l1=0时，条件为一三角形，结论仍成立； （3）当＝1时，即可得到梯形的中位线公式。 证明：设BA的延长线与CD的延长线交于O，由三角形相似可得 由（1）（2）可得。 依照命题1的推导方法，不难证明出以下命题： 命题1’：设梯形ABCD的上，下底边长分别为l1,l2，若平行于底边的截线EF把梯形的面积分成上下两部分之比为，则有（特别当l1=0梯形退化为一个三角形时，结论为=仍成立。） 2、立体几何中的定比分点： 命题2 ：设棱台的上、下底面积分别为S1、S2，平行于底面的截面的面积为S0，此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为，则有： 。特别地，当＝1时，。 证明：将棱台补成棱锥，设所补的小棱锥的高为x，截面到上、下底面的距离分别为h和h，则由截面性质定理可得： 从而有： …………(1) …………(2), 由(1) (2)得 即：． 依照公式2的推导方法，不难证明出以下两公式： 命题2’:设棱台的上、下底面积分别为S1、S2，平行于底面的截面的面积为S0，若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为，则有 命题2”: 设棱台的上、下底面积分别是S1、S2，平行于底面的面积为S0．若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为，则有 注：以上三个公式，对于圆台也同样成立．上述三个“定比分点”公式，形式整齐，结构对称，富有美感，便于记忆；而且在求解立体几何的有关问题时，有着广泛的应用。 3．数列中的定比分点： 命题3：设是等差数列，其中ap、am、an，满足则。 证明：ap=a1+(p-1)d ， am=a1+(m-1)d ， an=a1+(n-1)d （其中a1、d分别是等差数列的首项与公差） 将ap、am、an 代入 中可得 命题3’:设是等差数列，Ｓn是数列的前n项和，其中Ｓp、Ｓm、Ｓn 满足（），则。 证明：因为 = 那么S=An2+Bn，即，所以数列是等差数列， 由命题3，即有。 1 1 第 1 页 共 5 页