对于只有两变量的线性规划问题.docVIP

? 对于只有两变量的线性规划问题，可以用图解法求最优解，其特点是过程清楚、图形清晰。?????? ?例4? 设有一线性规划问题表达式(包括目标函数、约束条件)如下??????? fmax＝50X1 ＋40X2????? ? X1＋X2≤450????????????????????????????? ?(1)?????? ?2 X1＋X2≤800??????????????????????????? (2)??????? X1＋3 X2≤900??????????????????????????? (3)??????? X1，X2≥0???????????????????????????????? (4)??????? 以X1，X2为坐标，当式(l)为等式，即X1＋X2＝450时，在X1 ，X2坐标系，它是一条直线，但式(l)不是等式，而是X1＋X2≤450，即在式(1)表示的约束条件中给定的不仅是在直线上的所有点，而是在直线X1＋X2= 450左下部一个广大的区域(包括直线在内的阴影线部分)，见图1-1，例如X1＝0、X2=0，X1＝-5、X2=0, X1=3、X2=-3等等,都是满足式(1)的点。 ?图1-1? 某线性规划问题 ??????? 同理，也可以在X1，X2坐标系中画出式(2)、(3)、(4)所决定的4条直线，连同式(1)，共5条直线，如图1-2所示。?????? ?由图1-2所示的5条直线所围成的一个凸多边形，就是约束条件给定的区域，其中所有的点都满足约束条件的要求。实际上，它表示一个由凸多边形内无数多个点所组成的集合，称为凸集。那么，怎样从无穷多中求出使目标函数值最大的点呢？ ??? 图1-2? 某线性规划问题中的约束条件??????????????? ???? 解? 由于目标函数f＝50X1＋40X2，在f为一定值时也是一条直线，其斜率为-40/50。当f为不同值时，在X1，X2坐标系中实际上是一系列的平行线，则尽管在每一条直线上X1，X2取不同的值，f总是某一定值。例如图1-3中的直线I，当X1=0、 X2=0时；当X1=4、X2＝-5时f=0；因此称直线I为f的某一等直线（此处为零）。 图1-3? 目标函数f的等值线 ??????? 由于直线I是等直线，而且斜率相等，它们又是一系列平行线，因此只要画出其中任意的一条线，将它们平移到某个与凸集相交的极限位置，所得的交点就是既满足约束条件(在凸集范围内)，又使f值为最大的现代战争最优解。如下图1-4中的点，X1=350，X2=100，f=21500。 ?图1-4? 某线性规划问题的最优解 ?????? 上面介绍的图解法虽然简单直观，但只有在变量为两个的情况下才能实现；当变量数增多时，图解法就无法满足了。这时，就要用解析计算的方法—单纯形法来求解。单纯形法的基本思路是：根据问题的标准型(等价的把不等式改为等式)，从可行域中一个基本可行解(顶点) 开始转换到另一个可行解(顶点)。这种过程叫“迭代”，每迭代一次都使目标函数达到最大值时，问题就得到了最优解。?????? ?在实际应用中，即使有了单纯形的解法，仍不能应付复杂情况的求解，如以一个有77个变量,9个约束条件的线性规划问题为例，用单纯形法进行手工计算约需120工作小时，这样大的计算量必须借助于计算机来完成(该题用计算机求解仅需12min)。