对坐标的曲线积分.pptVIP

§9.6 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系 变力沿曲线所作的功 质点在变力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B? 求变力F(x? y)所作的功? P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi , [ ] 提示? 把L分成n个小弧段? L1? L2? ? ? ?? Ln? 求功的过程? 变力在Li上所作的功的近似值为? 变力在L上所作的功的近似值为? 变力在L上所作的功的精确值为? 其中?是各小弧段长度的最大值? F在Li上所作的功Wi?F(?i? ?i)??si? 光滑曲线 对坐标的曲线积分 设函数P(x? y)、Q(x? y)在有向光滑曲线弧L上有界? 把L分成n个有向小弧段L1? L2? ? ? ?? Ln? 其中Li是从(xi?1? yi?1)到(xi? yi)的小弧段? 记?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1? 在小弧段Li上任取一点(?i? ?)? 令?为各小弧段长度的最大值? 如果极限 总存在? 则称此极限为函数P(x? y) 在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分? 记作 ? 如果极限 总存在? 则称此极限为函数Q(x? y) 在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分? 记作 ? 对坐标的曲线积分 在积分中P(x? y)、Q(x? y)叫做被积函数? L叫做积分弧段? 说明? 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分? 对坐标的曲线积分 说明? 设?为空间内一条光滑有向曲线弧? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定义? 我们定义 对坐标的曲线积分的简写形式 在应用上经常出现的是 上式可记为 其中F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j? dr?dxi?dyj? 类似地? 有 其中A?P(x? y? z)i?Q(x? y? z)j?R(x? y? z)k? dr?dxi?dyj?dzk? 对坐标的曲线积分的性质 性质1 设?、?为常数? 则 性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2? 性质3 设L是有向光滑曲线弧? L?是L的反向曲线弧? 则 则 提示? 质点在变力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为 另一方面? 在L上任取一小段有向弧? 其起点和终点对应的参数分别为t和t?dt? 得功元素 ?F[?(t)? ?(t)]?dr dr?(dx? dy)?(??(t)dt? ??(t)dt)? dW 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x??(t)? y??(t)? 且L的起点和终点所对应的参数分别为?和?? 图形 F[?(t)? ?(t)]?(P[?(t)? ?(t)]? Q[?(t)? ?(t)])? 二、对坐标的曲线积分的计算 质点在变力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为 另一方面? 在L上任取一小段有向弧? 其起点和终点对应的参数分别为t和t?dt? 得功元素 ?F[?(t)? ?(t)]?dr ?P[?(t)? ?(t)]??(t)dt?Q[?(t)? ?(t)]??(t)dt? dW 于是 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x??(t)? y??(t)? 且L的起点和终点所对应的参数分别为?和?? 二、对坐标的曲线积分的计算 质点在变力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x??(t)? y??(t)? 且L的起点和终点所对应的参数分别为?和?? 这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算? 定理(对坐标的曲线积分的计算公式) 存在? 并且 则曲线积分 设P(x? y)、Q