2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案变化率与导数、导数的运算.doc

第三章　导数及其应用 学案13　导数的概念及运算 导学目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y＝C (C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c，xm (m为有理数)，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数． 自主梳理 1．函数的平均变化率 一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商________________________＝称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率． 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率______________通常称为f(x)在x＝x0处的导数，并记作f′(x0)，即______________________________． (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________． 导函数y＝f′(x)的值域即为__________________． 3．函数f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作____________． 4．基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝C f′(x)＝______ f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝______ (α∈Q*) F(x)＝sin x f′(x)＝__________ F(x)＝cos x f′(x)＝____________ f(x)＝ax (a0，a≠1) f′(x)＝____________(a0，a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax(a0，a≠1，x0) f′(x)＝__________(a0，a≠1，且x0) f(x)＝ln x f′(x)＝__________ 5．导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝__________； (2)[f(x)g(x)]′＝______________； (3)′＝______________ [g(x)≠0]． 6．复合函数的求导法则：设函数u＝φ(x)在点x处有导数ux′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x处的对应点u处有导数yu′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处有导数，且y′x＝y′u·u′x，或写作f′x(φ(x))＝f′(u)φ′(x)． 自我检测 1．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则为 (　　) A．Δx＋＋2 B．Δx－－2 C．Δx＋2 D．2＋Δx－ 2．设y＝x2·ex，则y′等于 (　　) A．x2ex＋2x B．2xex C．(2x＋x2)exD．(x＋x2)·ex ＝. 例2　解题导引　求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形． 解　(1)∵y＝(1－) ＝－＝， ∴y′＝ ＝. (2)y′＝′＝ ＝. (3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)． (4)y′＝′＝ ＝＝. 变式迁移2　解　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2 ＝(ln 3＋1)(3e)x－2xln 2. (1)y′＝[(1＋sin x)2]′ ＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′ ＝2(1＋sin x)·cos x ＝2cos x＋sin 2x. (2)y′＝′ (3)y′＝(ln)′ ＝·()′ ＝·(x2＋1)－·(x2＋1)′ ＝. 变式迁移3　解　(1)设u＝1－3x，y＝u－4. 则yx′＝yu′·ux′＝－4u－5·(－3) ＝. (2)设y＝u2，u＝sin v，v