2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案变量间的相关关系.doc

学案58　变量间的相关关系 导学目标： 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 自主梳理 1．两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中，点散布在从__________到________的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关 在散点图中，点散布在从________到________的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程 (1)最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到它的________________________的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程 方程 ＝ x＋ 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中 ， 是待定参数． 自我检测 1．下列有关线性回归的说法，不正确的是(　　) A．相关关系的两个变量不一定是因果关系 B．散点图能直观地反映数据的相关程度 C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D．任一组数据都有回归直线方程 2．(2009·海南，宁夏)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断(　　) A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 3．(2011·银川模拟)下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归直线方程是 ＝－0.7x＋ ，则 等于(　　) A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25 4．(2010·广东)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示： 年份 2005 2006 2007 2008 2009 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是_________________________________， 家庭年平均收入与年平均支出有______线性相关关系． 5．(2011·金陵中学模拟)已知三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，则其回归方程是________________. 探究点一　利用散点图判断两个变量的相关性 例1　有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表： 温度 (℃) －5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮 杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)画出散点图； (2)你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？ 变式迁移1　某班5个学生的数学和物理成绩如表： 学生 学科 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 画出散点图，并判断它们是否有相关关系？ 探究点二　求回归直线方程 例2　假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有以下统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y对x呈线性相关关系．试求回归方程 ＝ x＋ . 变式迁移2　已知变量x与变量y有下列对应数据： x 1 2 3 4 y 2 3 且y对x呈线性相关关系，求y对x的回归直线方程． 探究点三　利用回归方程对总体进行估计 例3　下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程 ＝ x＋ ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 变式迁移3　(2011·盐城