2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案命题及其关系、充分条件与必要条件.doc

学案2　命题及其关系、充分条件与必要条件 导学目标： 1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 自主梳理 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是 原命题：若p则q(p?q)； 逆命题：若q则p(q?p)； 否命题：若綈p则綈q(綈p?綈q)； 逆否命题：若綈q则綈p(綈q?綈p)． (2)四种命题间的关系 (3)四种命题的真假性 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． ②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 若p?q，则p叫做q的充分条件；若q?p，则p叫做q的必要条件；如果p?q，则p叫做q的充要条件． 自我检测 1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是(　　) A．?x∈R，lg x＝0 B．?x∈R，tan x＝1 C．?x∈R，x30 D．?x∈R,2x0 答案　C 解析　对于C选项，当x＝0时，03＝0，因此?x∈R，x30是假命题． 2．(2010·陕西)“a0”是“|a|0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　a0?|a|0，|a|0a0，∴“a0”是“|a|0”的充分不必要条件． 3．(2009·浙江)“x0”是“x≠0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　对于“x0”?“x≠0”，反之不一定成立，因此“x0”是“x≠0”的充分而不必要条件． 4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的(　　) A．逆否命题 B．逆命题 C．否命题 D．原命题 答案　C 解析　由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题． 5．(2011·宜昌模拟)与命题“若a∈M，则bM”等价的命题是(　　) A．若aM，则bM B．若bM，则a∈M C．若aM，则b∈M D．若b∈M，则aM 答案　D 解析　因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．  探究点一　四种命题及其相互关系 例1　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假． (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧． 解题导引　给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定． 解　(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题． 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题． 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题． (2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题． 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题． (3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题． 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题． 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题． 变式迁移1　有下列四个命题： ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中真命题的序号为________． 答案　①③ 解析　①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真； ④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假． 探究点二　充要条件的判断 例2　给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件． (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等． (3)p：m－2；q：方程x2