2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案数列的通项与求和.doc

学案31　数列的通项与求和 导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 自主梳理 1．求数列的通项 (1)数列前n项和Sn与通项an的关系： an＝ (2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)． (3)当已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用__________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1···…·. (4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项． (5)归纳、猜想、证明法． 2．求数列的前n项的和 (1)公式法 ①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________； ②等比数列前n项和Sn＝ 推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n项和： a．1＋2＋3＋…＋n＝__________； b．2＋4＋6＋…＋2n＝__________； c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝______； d．12＋22＋32＋…＋n2＝__________； e．13＋23＋33＋…＋n3＝__________________. (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． 常见的裂项公式有： ①＝－； ②＝； ③＝－. (4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导． 自我检测 1．(原创题)已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝3n2(n∈N*)，则数列{an}的前n项的(　　) A.(3n－1) B.(3n－1) C.(9n－1) D.(9n－1) 2．(2011·邯郸月考)设{an}是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，若{Sn}是等差数列，则q为 (　　) A．－1 B．1 C．±1 D．0 3．已知等比数列{an}的公比为4，且a1＋a2＝20，设bn＝log2an，则b2＋b4＋b6＋…＋b2n等于 (　　) A．n2＋nB．2(n2＋n) C．2n2＋nD．4(n2＋n) A．(－1)n－1B．(－1)n C. D．－ 【答题模板】 答案　A 解析　本题考查二次函数的性质以及并项转化法求和． 当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，函数f(x)＝x2＋x的值随x的增大而增大，则f(x)的值域为[n2＋n，n2＋3n＋2](n∈N*)，∴g(n)＝2n＋3(n∈N*)，于是an＝＝n2. 方法一　当n为偶数时，Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－[3＋7＋…＋(2n－1)]＝－·＝－； 当n为奇数时，Sn＝(a1－a2)＋(a3－a4)＋…＋(an－2－an－1)＋an ＝Sn－1＋an＝－＋n2＝， ∴Sn＝(－1)n－1. 方法二　a1＝1，a2＝4，S1＝a1＝1， S2＝a1－a2＝－3， 检验选择项，可确定A正确． 【突破思维障碍】 在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示． 1．求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项； (2)观察法：例如由数列的前几项来求通项； (3)可化归为使用累加法、累积法； (4)可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法； (5)求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明． 2．数列求和的方法： 一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． 3．求和时应注意的问题： (1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程． (2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和． (满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·广东)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若