2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案正弦定理和余弦定理应用举例.doc

学案24　正弦定理和余弦定理应用举例 导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 自主梳理 1．仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示) 2．方位角 一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向． 3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示) ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． 4．坡角 坡面与水平面的夹角．(如图所示) 5．坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tan α(i为坡比，α为坡角)． 6．解题的基本思路 运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型． 自我检测 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是 (　　) A．αβ B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 2．(2011·承德模拟)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 (　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是 (　　) A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b 4．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m. 5．(2010·全国Ⅱ)△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD. 探究点一　与距离有关的问题 例1　(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？ 变式迁移1　某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？ 探究点二　测量高度问题 例2　如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 变式迁移2　某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高． 探究点三　三角形中最值问题 例3　(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β. (1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？ 变式迁移3　(2011·宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值． 1．解三角形的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意． 分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等． (2)根据题意画出示意图． (3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答． (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍． 2．应用举例中常见几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． (满分：75分)