2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案直接证明与间接证明.doc

学案38　直接证明与间接证明 导学目标： 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点． 自主梳理 1．直接证明 (1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件，Q表示要证的结论)． (2)分析法 ①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法． ②框图表示：→→→…→. 2．间接证明 反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 自我检测 1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(2011·揭阳模拟)用反证法证明“如果ab，那么”的假设内容应是(　　) A.＝ B. C.＝且 D.＝或 3．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是(　　) A．|a－c|≤|a－b|＋|c－b| B．a2＋≥a＋ C.－－ D．|a－b|＋≥2 4．(2010·广东)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和?如下： 那么d?(a⊕c)等于(　　) A．a B．b C．c D．d 5．(2011·东北三省四市联考)设x、y、z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数(　　) A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 探究点一　综合法 例1　已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. 变式迁移1　设a，b，c0，证明： ＋＋≥a＋b＋c. 探究点二　分析法 例2　(2011·马鞍山月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证： lg ＋lg ＋lg lg a＋lg b＋lg c. 变式迁移2　已知a0，求证： －≥a＋－2. 探究点三　反证法 例3　若x，y都是正实数，且x＋y2， 求证：2与2中至少有一个成立． 变式迁移3　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0. 转化与化归思想的应用 例　(12分)(2010·上海改编)若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m. (1)若x2－1比1远离0，求x的取值范围． (2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab. 多角度审题　(1)本题属新定义题，根据“远离”的含义列出不等式，然后加以求解． (2)第(2)小题，实质是证明不等式|a3＋b3－2ab||a2b＋ab2－2ab|成立．证明时注意提取公因式及配方法的运用． 【答题模板】 (1)解　由题意得＞1， 即x2－1＞1或x2－1＜－1.[2分] 由x2－1＞1，得x2＞2，即x＜－或x＞；由x2－1＜－1，得x∈?. 综上可知x的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．[4分] (2)证明　由题意知即证＞成立．[6分] ∵a≠b，且a、b都为正数， ∴＝＝＝(a－b)2， ＝＝ab(－)2＝(a－b)2，[8分] 即证(a－b)2－(a－b)2＞0， 即证(a－b－a＋b)(a－b＋a－b)＞0， 需证＞0，[10分] 即证(a＋b)(a－b)2＞0，∵a、b都为正数且a≠b，∴上式成立．故原命题成立．[12分] 【突破思维障碍】 1．准确理解题意，提炼出相应不等式是解决问题的关键． 2．代数式|a3＋b3－2ab|与|a2b＋ab2－2ab|中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便． 【易错点剖析】 1．推理论证能力较差，绝对值符号不会去． 2．运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错． 1．综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论．即由因导果． 2．分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．即执果索因，用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法． 3．用反证法证明问题的一般步骤： (1)反设：假定所要证的结论不成立，即结论的反面(否定命题)成立；(否定结论) (2)归谬：将“反