2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案空间几何体的表面积与体积.doc

学案41　空间几何体的表面积与体积 导学目标： 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台的体积的计算公式.3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行必要的计算.4.提高认识图、理解图、应用图的能力． 自主梳理 1．多面体的表面积 (1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则S直棱柱侧＝______. (2)设正n棱锥底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则S正棱锥侧＝____________＝____________. (3)设正n棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a′，周长为c′，斜高为h′，则 S正棱台侧＝__________＝____________. (4)设球的半径为R，则S球＝____________. 2．几何体的体积公式 (1)柱体的体积V柱体＝______(其中S为柱体的底面面积，h为高)． 特别地，底面半径是r，高是h的圆柱体的体积V圆柱＝πr2h. (2)锥体的体积V锥体＝________(其中S为锥体的底面面积，h为高)． 特别地，底面半径是r，高是h的圆锥的体积V圆锥＝πr2h. (3)台体的体积V台体＝______________(其中S′，S分别是台体上、下底面的面积，h为高)． 特别地，上、下底面的半径分别是r′、r，高是h的圆台的体积V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)． (4)球的体积V球＝__________(其中R为球的半径)． 自我检测 1．已知两平行平面α，β间的距离为3，P∈α，边长为1的正三角形ABC在平面β内，则三棱锥P—ABC的体积为(　　) A. B. C. D. 2．(2011·唐山月考) 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，则它的表面积与正方体表面积的比为(　　) A.∶3 B.∶2 C.∶6 D.∶6 3．设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B—APQC的体积为(　　) A.V B.V C.V D.V 4．(2011·平顶山月考)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(　　) A．9π B．10π C．11π D．12π 5．(2011·陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是(　　) A．8－ B．8－ C．8－2π D. 探究点一　多面体的表面积及体积 例1　三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积． 变式迁移1　(2011·烟台月考)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面面积为________． 探究点二　旋转体的表面积及体积 例2　 如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积． 变式迁移2　直三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________． 探究点三　侧面展开图中的最值问题 例3　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，CC1＝c，并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长． 变式迁移3　 (2011·杭州月考)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝ .P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________． 1．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素． 2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积． (满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　) A．48 B．32＋8 C．48＋8 D．80 2．已知一个球与一