2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案空间向量及其运算.doc

学案45　空间向量及其运算 导学目标： 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 自主梳理 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向______且模______的向量． (3)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是______________________________． 推论　如图所示，点P在l上的充要条件是：＝＋ta① 其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝___________________或＝(1－t)＋t. (4)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O有，＝__________________或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝____. 2．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________________________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________________，若〈a，b〉＝，则称a与b______________，记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则______________________叫做向量a，b的数量积，记作________，即______________________________． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝____________________； ②交换律：a·b＝________； ③分配律：a·(b＋c)＝________________. 4．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a·b＝____________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b(b≠0)?____________?________，__________，________________， a⊥b?________?_________________________________ (a，b均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝＝_____________________________________________________________， cos〈a，b〉＝＝_________________________________________________________ . 若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， (9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)． A(a,0,0)，C(0，a,0)，C1(0，a,3a)， E，A1(a,0,3a)， ＝，＝(－a，a，－3a)， cos，＝＝＝－. ∴直线BE与A1C所成的角的余弦值为. (2)假设存在点F，使CF⊥平面B1DF， 并设＝λ＝λ(0,0,3a)＝(0,0,3λa) (0λ1)， ∵D为A1C1的中点，∴D， ＝－(0,0,3a)＝， ＝＋＋＝(0,0，－3a)＋(a,0,0)＋(0,0,3a)＝(a,0,3a(λ－1))， ＝＋＝(a，－a,0)＋(0,0,3a) ＝(a，－a,3λa)． CF⊥平面B1DF，，， ，， ＝＝ ∴存在点F使CF⊥面B1DF，且 当λ＝时，||＝||＝a， 当λ＝时，||＝||＝2a. 课后练习区 1．C　[②③④均不正确．] 2．A　[以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建系，设棱长为2，则M(0,0,1)，N(0,1,2)，O(1,1,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)， ∴＝(－2,2,0)，＝(0,1,1)，＝(－1，－1,1)， ∴·＝0，·＝0， ∴OM⊥AC，OM⊥MN.] 3．B　[ 如图建立坐标系，设AB＝BC＝AA1＝2，则E(0,1,0)，F(0,0,1)，C1(2,0,2)， ∴＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)， ∴cos〈，〉＝＝.