2016年《步步高》高考数学(人教A版,理科)大一轮总复习学案空间的垂直关系.doc

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学案44 空间的垂直关系 导学目标: 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 自主梳理 1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理:一条直线和一个平面内的两条______直线都垂直,则该直线与此平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也______这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内______直线. ②垂直于同一个平面的两条直线______. ③垂直于同一直线的两个平面________. 2.直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的________所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 一直线垂直于平面,说它们所成角为________;直线l∥α或l?α,则它们成________角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理:一个平面过另一个平面的__________,则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两个平面垂直,则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面垂直. 4.二面角的平面角 以二面角棱上的任一点为端点,在两个半平面内分别作与棱________的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角. 自我检测 1.平面α⊥平面β的一个充分条件是(  ) A.存在一条直线l,l⊥α,l⊥β B.存在一个平面γ,γ∥α,γ∥β C.存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β D.存在一条直线l,l⊥α,l∥β 2.(2010·浙江)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(  ) A.若l⊥m,m?α,则l⊥α B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α C.若l∥α,m?α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m 3.(2011·长沙模拟)对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件: ①存在平面γ,使得α,β都垂直于γ; ②存在平面γ,使得α,β都平行于γ; ③存在直线l?α,直线m?β,使得l∥m; ④存在异面直线l、m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β. 其中,可以判定α与β平行的条件有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2011·十堰月考)已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是(  ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β C.若m∥α,m∥β,则α∥β D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n 5.(2011·大纲全国)已知点E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________. 探究点一 线面垂直的判定与性质 例1 Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC.求证:BD⊥平面SAC. 变式迁移1  在四棱锥V—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.证明:AB⊥VD. 探究点二 面面垂直的判定与性质 例2 (2011·邯郸月考)如图所示,已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形,O1、O分别为上、下底面的中心,且A1在底面ABCD内的射影是O.求证:平面O1DC⊥平面ABCD. 变式迁移2 (2011·江苏)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点. 求证:(1)直线EF∥平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD. 探究点三 直线与平面,平面与平面所成的角 例3 (2009·湖北)如图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2a,AD=a,点E是SD上的点,且DE=λa(0λ≤2). (1)求证:对任意的λ∈(0,2],都有AC⊥BE; (2)设二面角C—AE—D的大小为θ,直线BE与平面ABCD所成的角为φ,若tan θtan φ=1,求λ的值. 变式迁移3 (2009·北京)如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC. (1)求证:BC⊥ 平面PAC. (2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成角的正弦值. (3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角?并说明理由. 转化与化归思想综合应用 例 (12分)已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是∠A=60°的 菱形,又PD⊥底面ABCD,点M、N分别是

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