2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习学案等比数列及其前n项和.doc

学案30　等比数列及其前n项和 导学目标： 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 自主梳理 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________. 3．等比中项： 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·________ (n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则__________________________． (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan} (λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (4)单调性：或?{an}是________数列；或?{an}是________数列；q＝1?{an}是____数列；q0?{an}是________数列． 5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q (q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝＝＝－. 6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______． 自我检测 1．“b＝”是“a、b、c成等比数列”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是 (　　) A．3 B．1 C．0 D．－1 3．(2011·温州月考)设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，则f(n)等于 (　　) A.(8n－1) B.(8n＋1－1) C.(8n＋2－1) D.(8n＋3－1) 4．(2011·湖南长郡中学月考)已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an等于 (　　) A．8·n B．8·n C．8·n－1D．8·n－1 ∵a1a5＝a2a4＝a，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a， (2)a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝aq6＝1.① a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15 ＝a·q54＝8.② ②÷①：＝q48＝8q16＝2， a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43 ＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)·(q16)10 ＝1·210＝1 024. 课后练习区 1．B　[∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1， ∴设{an}的公比为q，则q0，且a＝1，即a3＝1. ∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0. 故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4. ∴S5＝＝8(1－)＝.] 2．A　[由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则＝＝－11.] 3．C　[由题可设等比数列的公比为q， 则＝21?1＋q＋q2＝7?q2＋q－6＝0 ?(q＋3)(q－2)＝0， 根据题意可知q0，故q＝2. 所以a3＋a4＋a5＝q2S3＝4×21＝84.] 4．C　[a3a6a18＝aq2＋5＋17＝(a1q8)3＝a，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值．] 5．D　[因为等比数列{an}中有S3＝2，S6＝18， 即＝＝1＋q3＝＝9， 故q＝2，从而＝ ＝1＋q5＝1＋25＝33.] 6．127 解析　∵公比q4＝＝16，且q0，∴q＝2， ∴S7＝＝127. 7. 解析　∵S99＝30，即a1(299－1)＝30， ∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8， ∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝ ＝＝×30＝. 8．4n－1 解析　∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4， 不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)