2016年《步步高》高考数学(人教A版,理科)大一轮总复习学案简单的三角恒等变换.doc

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2016年《步步高》高考数学(人教A版,理科)大一轮总复习学案简单的三角恒等变换.doc

学案22 简单的三角恒等变换 导学目标: 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换. 自主梳理 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=________________; (2)cos 2α=______________=________________-1=1-________________; (3)tan 2α=________________________ (α≠+且α≠kπ+). 2.公式的逆向变换及有关变形 (1)sin αcos α=____________________?cos α=; (2)降幂公式:sin2α=________________,cos2α=________________; 升幂公式:1+cos α=________________,1-cos α=_____________; 变形:1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=________________________. 自我检测 1.(2010·陕西)函数f(x)=2sin xcos x是 (  ) A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数 2.函数f(x)=cos 2x-2sin x的最小值和最大值分别为 (  ) A.-3,1 B.-2,2 C.-3, D.-2, 3.函数f(x)=sin xcos x的最小值是 (  ) A.-1 B.- C. D.1 4.(2011·清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角,则sin A·sin B (  ) A.有最大值,最小值0 B.有最小值,无最大值 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值,无最小值 探究点一 三角函数式的化简 例1 求函数y=7-4sin xcos x+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值. 变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f(x)=. (1)求f的值; (2)当x∈时,求g(x)=f(x)+sin 2x的最大值和最小值. 探究点二 三角函数式的求值 例2 已知sin(+2α)·sin(-2α)=,α∈(,),求2sin2α+tan α--1的值. 变式迁移2 (1)已知α是第一象限角,且cos α=,求的值. (2)已知cos(α+)=,≤α,求cos(2α+)的值. 探究点三 三角恒等式的证明 例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α+β)=3sin β,设tan α=x,tan β=y,记y=f(x). (1)求证:tan(α+β)=2tan α; (2)求f(x)的解析表达式; (3)若角α是一个三角形的最小内角,试求函数f(x)的值域. 变式迁移3 求证: =. 转化与化归思想的应用 例 (12分)(2010·江西)已知函数f(x)= sin2x+msinsin. (1)当m=0时,求f(x)在区间上的取值范围; (2)当tan α=2时,f(α)=,求m的值. 【答题模板】 解 (1)当m=0时,f(x)=sin2x =sin2x+sin xcos x= =,[3分] 由已知x∈,得2x-∈,[4分] 所以sin∈,[5分] 从而得f(x)的值域为.[6分] (2)f(x)=sin2x+sin xcos x-cos 2x =+sin 2x-cos 2x =[sin 2x-(1+m)cos 2x]+,[8] 由tan α=2,sin 2α===, cos 2===-.[10分] 所以=+,[11] 解得m=-2.[12分] 【突破思维障碍】 三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等,将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是:(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等. 1.求值中主要有三类求值问题: (1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质是

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