2016年【湘教考】高三数学（理）一轮复习课时达标：7.2.doc

（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！） 一、选择题. 【答案】C 2.(2014·郑州市二测)一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位：cm)，其中正(主)视图是直角三角形，侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是（ ） A.π2 cm3B.π3 cm3C.π4 cm3D.π cm3 【解析】依题意得，该几何体是一个圆锥的一半(沿圆锥的轴剖开)，其中该圆锥的底面半径为1、高为3，因此该几何体的体积为12×13×π×12×3＝π2 cm3，选A. 【答案】A 3．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　) A. π B．2π C. π D. π 【解析】　上底半径r＝1，下底半径R＝2.∵S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)·l＝6π，∴l＝2，∴高h＝＝，∴V＝π·×(12＋1×2＋22)＝π. 【答案】　D . 【答案】C 5.已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则TS等于（） A.19 B.49 C.14 D.13 【解析】设正四面体ABCD的棱长为a，如图所示，则EF＝23MN＝13BD＝13a，所以TS＝19. 【答案】A 6.已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为( ) 【解析】在如图所示的正三棱柱A1B1C1ABC中，设底面边长为a，其高SE＝h，O为其外接球的球心. 在Rt△OAE中，OA＝R，OE＝h2，， ∴OA2＝OE2＋AE2， 二、填空题【解析】如图，过B作BD⊥AA1于D，连接CD，则△BAD≌△CAD， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴AD⊥CD，AD⊥BD， ∴△BCD为垂直于侧棱AA1的截面. 又∵∠BAD＝60°，AB＝a，∴BD＝32a. ∴△BDC的周长为()a，从而S侧＝， 【答案】 如图，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 . 【解析】由球的半径为4，可知球的表面积为64π.设内接圆柱的底面半径为r，高为2h，则h2＋r2＝16.圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4π·r2＋h22＝32π，当且仅当r＝h＝22时取等号，即内接圆柱的侧面积最大，最大值为32π，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为32π. 【答案】32π 9．已知球O的表面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________． 解析　如图，易知球心O为DC中点，由题意可求出CD＝3，所以球O的半径为，故球O的体积为π×＝. 答案　 _____. 【解析】如图所示，在四面体ABCD中，若AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x， 取AD的中点P，BC的中点E， 连接BP，EP，CP，易证AD⊥平面BPC， ∴VABCD＝S△BPC·AD 当且仅当 【答案】 三、解答题11．有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱． (1)求圆锥的体积． (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解析(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5，所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r，则2πr＝5×，解得r＝3.所以圆锥的高为4.从而圆锥的体积V＝πr2×4＝12π. (2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形． 设圆柱的底面半径为a，则＝，从而a＝3－x. 圆柱的侧面积S(x)＝2π(3－x)x＝π(4x－x2) ＝π[4－(x－2)2](0x4)．当x＝2时，S(x)有最大值6π. 所以当圆柱的高为2时，圆柱有最大侧面积为6π. 12．如图所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3. (1)在三棱锥P－ABC中，求证：PA⊥BC. (2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P－ABC的体积． 解析(1)证明：由题设知A、B、C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1＝P2P3，从而PB＝PC，AB＝AC， 取BC的中点D，连AD、PD，则AD⊥BC，PD⊥BC，∴BC⊥面PAD.故PA⊥BC. (2)由题设有AB＝AC＝P1P2＝13，PA＝P1A＝BC＝10，PB＝PC＝P1B＝13， ∴AD＝PD＝＝12，在等腰三角形DPA中， 底边PA上的高h＝＝，∴S△DPA＝PA·h＝5，又BC⊥面PAD， ∴VP－ABC＝VB－PDA＋VC－PDA＝BD·S△DPA＋DC·S△PDA＝BC·S△P