2016年【金识源】年高中数学 .二项式定理导学案 苏教版选修-.doc

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2016年【金识源】年高中数学 .二项式定理导学案 苏教版选修-.doc

1.5 二项式定理 学习目标 重点、难点 1.理解并掌握二项式定理的项数、系数、二项式系数、通项的特征,熟记它的展开式; 2.能应用展开式的通项公式求展开式中的特定项; 3.掌握二项展开式的有关性质,能利用展开式的性质计算和证明一些简单问题. 重点:二项式定理及通项公式. 难点:二项式定理的实际应用. 1.二项式定理 (a+b)n=Can+Can-1b+…+an-rbr+…+Cbn(nN*). 这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,它一共n+1项,其中an-rbr叫做二项展开式的第r+1项(也称通项),用Tr+1表示,即Tr+1=an-rbr. (r=0,1,…,n)叫做第r+1项的二项式系数. 预习交流1 你是如何理解和记忆二项式定理的? 提示:二项式定理是一个恒等式,左边是二项式幂的形式,右边是二项式的展开式,各项的次数都等于二项式的幂的次数为n;字母a按降幂排列,次数由n递减到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n. 2.二项式系数的性质及应用 一般地,(a+b)n展开式的二项式系数C,C,…,C有如下性质: C=C;C+C=C;当r<时,<C,当r>时,C<;C+C+C+…+C=2n. 预习交流2 如何说明C-C+C-C+…+(-1)n·C=0. 提示:利用赋值法,令公式中的a=1,b=-1,展开就会得到上式. 在预习中,还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格中做个备忘吧! 我的学困点 我的学疑点 一、二项式定理 求4的展开式. 思路分析:直接利用二项式定理展开,注意每一项都符合通项公式,也可先将原式变形后再展开. 解:解法一:4=C(3)40+C(3)31+C(3)22+C(3)3+C(3)04=81x2+108x+54++. 解法二:4=4==(81x4+108x3+54x2+12x+1)=81x2+108x+54++. 求二项式10的展开式中的常数项. 解:设第r+1项为常数项,则(x2)10-r·r= ·r(r=0,1,…,10), 令20-r=0得r=8,所以第9项为常数项,常数项为C8=. 利用二项式定理求展开式中某特定项,通常的做法是先确定通项公式中的r的值或取值范围,但要注意区分二项式系数、项的系数及项的关系. 二、二项式系数的性质及应用 如果(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7=__________. 思路分析:比较展开式与a1+a2+…+a7结构,会发现当x=1时,含有a1+a2+…+a7,即(1-2)7=a0+a1+a2+…+a7=-1,从而只要知道a0即可. 答案:-2 解析:令x=0得(1-2×0)7=a0,a0=1. 再令x=1,则有(1-2×1)7=a0+a1+a2+…+a7, a0+a1+a2+…+a7=-1. a1+a2+…+a7=-1-a0=-1-1=-2. 设(1-2x)2 012=a0+a1x+a2x2+…+a2 012x2 012(xR). (1)求a1+a3+a5+…+a2 011的值. (2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 012|的值. 解:(1)令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2 012=32 012. 令x=1,得a0+a1+a2+a3+…+a2 012=(-1)2 012=1. 由,得2(a1+a3+a5+…+a2 011)=1-32 012, a1+a3+a5+…+a2 011=. (2)Tr+1=12 012-r·(-2x)r=(-1)r(2x)r, a2k-1<0(kN*),a2k>0(kN*). |a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 012| =a0-a1+a2-a3+…+a2 012=32 012. 求展开式的系数和关键是给字母赋值,赋值需根据展开式系数的特征来定,一般地,多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn的各项系数和为f(1),奇数项系数和为,偶数项系数的和为. 1.n(n∈N*)的展开式中,若存在常数项,则n的最小值为__________. 答案:5 解析:Tr+1=(2x3)n-rr=2n-r··x3n-5r. 令3n-5r=0, 又0≤r≤n,r,nZ,n的最小值为5. 2.(1+2)3(1-)5的展开式中x的系数是__________. 答案:2 解析:(1+2)3(1-)5=(1+6+12x+8x)(1-)5, 故(1+2)3(1-)5的展开式中含x的项为1×C(-)3+12xC=-10x+12x=2x. 3.5(xR)展开式中x3的系数为10,则实数a等于__________. 答案:2 解析:Tr+1=xr5-r=a5-rx2r-5,令2r-5=3, r=4.C·a=10,解得a=2. 4

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