年高考真题——理科数学北京卷.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试 一选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 复数（ ） （A） （B） （C） （D） 若满足则的最大值为（ ） （A）0 （B） （C） （D） 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） （A） （B）（C） （D）是两个不同的平面，是直线且“”是“”的（ ） （A） （B）（C） （D） 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）（A） （B） （C） （D） 6．设是等差数列下列结论中正确的是（ ） （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则 如图，函数的图象为折线则不等式的解集是（ ） （A） （B）（C） （D）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是 ） （A）消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 （B）以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 （C）甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 （D）某城市机动车最高限速80千米/小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二填空题共6题，每小题5分，共30分。 9．在的展开式中，的系数为_________。（用数字作答） 已知双曲线的一条渐近线为，则________。 在极坐标系中，点到直线的距离为__________在中，，，，则__________在中，点满足，若，则 ；设，若，则的最小值为__________；若恰有2个零点，则实数的取值范围是__________三解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分）已知函数⑴求的最小正周期⑵求在区间上的最小值 16．（本小题共13分两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：组：假设所有病人的康复时间互相独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙⑴求甲的康复时间不少于14天的概率⑵如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率⑶当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 17．（本小题共14分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点⑴求证：⑵求二面角的余弦值⑶若平面，求的值18．（本小题共13分）已知函数，⑴求曲线在点处的切线方程；⑵求证：当时，⑶设实数使得对恒成立，求的最大值19．（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点⑴求椭圆的离心率，并求点的坐标（用表示）⑵设为原点，若点点轴，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由20．（本小题共13分）已知数列满足：，且记集合⑴若，写出集合的所有元素⑵若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数 ⑶求集合的元素个数的最大值2015年普通高校招生全国统考卷解答 C CCD 二．9．40；10．；11．1；12．1；13．；14．①1，② 15．解：⑴由题，故的最小正周期为⑵因，故因此当时，。 16．解：设事件为组第，事件为组第。由题可知。 ⑴由题知，事件不少于组第5第或第概率； ⑵设事件为乙，知 ， ； ⑶或。⑴因为等边三角形，为的中点，。又平面平面，平面，所以平面，而⑵取的中点，连接知为梯形，故⑴知平面，平面，。如图建立空间直角坐标系，，，，，。设平面法向量，则，即令，则。平面法向量，所以知二面角为钝角，它的余弦值为 ⑶因平面，故即因，，，由。 18．解：⑴由题，故。又故曲线在点处的切线方程； ⑵令，则因故，而在递增。，即当时， ⑶由⑵知，当时对恒成立当时，则当时，因此上单调递减当时，即所以当时并非对恒成立知最大值为⑴由题，，故椭圆。设，因故直线，即⑵由题可知，，则。“存在点，使得”“存在点，使得”即满足，，得在上存在，使得且⑴； ⑵因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知可归纳证明对任意，是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数如果，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数类似可得，都是3的倍数从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数，若集合存在元素是3的倍数则的所有元素都是3的倍数⑶由可归纳证明是正整数，，是2的倍数而，是2的倍数是3的倍数⑵知对所正整数是3的倍数当，的元素不超过5不是3的倍数⑵知对所正整数不是3的倍数当，的元素不超过8时，个元素可知，的元素为8 2015年高考真题理科数学（解析版）