.集合的笛卡儿积和二元关系.关系的运算.docVIP

授课时间 第七周 第 2 次课 授课章节 4. 1、2集合的笛卡儿积和二元关系 任课教师 及职称 唐新华 讲师 教学方法 与手段 板书和电子课件结合 课时安排 2课时 使用教材和 主要参考书 1、教材： 耿素云等，离散数学，清华大学出版社，2008 2.参考书 左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006 教学与目的要求： 掌握序偶与笛卡尔积的基本概念，并能够计算集合的笛卡尔积；掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系、复合关系的的概念，关系的表述方法，掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系、复合关系的的性质，能够判定关系的性质（等价关系或偏序关系） 教学重点、难点: 重点：集合的笛卡尔积、二元关系的定义 关系图，关系的表示方法 难点：集合的笛卡尔积、二元关系的定义 关系图 教学内容: 4.1 集合的笛卡儿积和二元关系 一、本节主要内容 有序对 笛卡儿积及其性质 二元关系的定义 二元关系的表示 二、教学内容 有序对 定义 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作x,y 实例：平面直角坐标系中点的坐标 3,(4 有序对性质 1） 有序性 x,y(y,x （当x( y时） 2）x,y 与 u,v 相等的充分必要条件是 x,y=u,v ( x=u ( y=v 有序 n 元组 定义 一个有序 n (n(3) 元组 x1, x2, …, xn 是一个 有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1元组，即 x1, x2, …, xn = x1, x2, …, xn-1, xn 实例 ：空间直角坐标系中的坐标 3，5，－6 n 维向量是有序 n元组. 当 n=1时, x 形式上可以看成有序 1 元组. 笛卡儿积 定义 设A, B为集合，用A中元素为第一个元素，B中元素为第二个元素，构成有序对. 所有这样的有序对组成的集合叫做 A与B 的笛卡儿积 记作A(B， 即 A(B ={ x,y | x(A ( y(B } 例2 A={1,2,3}, B={a,b,c} A(B ={1,a,1,b,1,c,2,a,2,b,2,c, 3,a,3,b,3,c} B(A ={a,1,b,1,c,1,a,2,b,2,c,2, a,3, b,3,c,3} A={(}, P(A)(A={(,(, {(},(} 笛卡儿积的性质 不适合交换律 A(B(B(A (A(B, A((, B(() 不适合结合律 (A(B)(C(A((B(C) (A((, B(() 对于并或交运算满足分配律 A((B(C)=(A(B)((A(C) (B(C)(A=(B(A)((C(A) A((B(C)=(A(B)((A(C) (B(C)(A=(B(A)((C(A) 若A或B中有一个为空集，则A(B就是空集. A((=((B=( 若|A|=m, |B|=n, 则 |A(B|=mn 性质的证明 证明 A((B(C)=(A(B)((A(C) 证 任取x,y x,y∈A×(B∪C)  ( x∈A∧y∈B∪C ( x∈A∧(y∈B∨y∈C)  ( (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)  ( x,y∈A×B∨x,y∈A×C  ( x,y∈(A×B)∪(A×C) 所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C). 例题 例3 (1) 证明 A=B ( C=D ( A(C=B(D (2) A(C=B(D是否推出 A=B ( C=D ? 为什么？ 解 (1) 任取x,y x,y(A(C ( x(A ( y(C ( x(B ( y(D ( x,y(B(D (2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=(, 则 A(C=B(D 但是 A(B. (2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=(, 则 A(C=B(D 但是 A(B. 例4 (1) 证明 A ( B ( C ( D ( A(C ( B(D (2) A(C ( B(D是否推出 A