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特征值估计、广义特征值与极大极小原理.doc
第十二讲 矩阵特征值估计
特征值计算较困难,希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。
特征值界的估计
定理1. 设,为A的任意特征值,则有
其中,
证明:设x为A的属于特征值的单位特征向量,即,,则
将x写成
(表示不含i=j)
不妨写为:
取等号的条件为,但,所以其它
定理2. 设,为A的任意特征值,则有
其中,,,
盖尔圆法
定义:设,由方程所确定的圆称为A的第i个盖尔圆,称为盖尔圆的半径。
定理3:矩阵A的所有特征值均落在它的所有盖尔圆的并集之中。
证明:设,为A的某一个特征值,x为相应的特征向量,将x写成,设
由,考虑行
对于A的特征值,一定存在,使落在A的第个盖尔圆中,对于每个特征值都有相同的结论。
定理4. 将矩阵A的全体盖尔圆的并集按连通部分分成若干个子集,(一个子集由完全连通的盖尔圆组成,不同子集没有相连通的部分),对每个子集,若它恰好由K个盖尔圆组成,则该子集中恰好包含A的K个特征值。
说明:盖尔圆相互重叠时重复计算,特征值相重时也重复计算
证明:设,
令
,,
的特征多项式是u的多项式,其特征值是u的连续函数,观察u()变化的过程中特征值的变化,特征值只能在盖尔圆连通的子集内变动,而不能跨出连通子集。
由此可见,由K个盖尔圆组成的连通子集恰好包含K个特征值。
应该注意到:连通的这些盖尔圆中,有些盖尔圆可能包含两个或多个特征值,而其它盖尔圆中可能无特征值。
推论1. 孤立盖尔圆中恰好包含一个特征值。
推论2. 实矩阵的孤立盖尔圆恰好包含一个实特征值。
推论3. 盖尔圆方法中盖尔圆半径可以按列求和。(因为方阵转置后特征值不变)
推论4. 盖尔圆半径变为,两个盖尔圆定理仍然成立。
说明如下:相似矩阵与A具有相同的特征值,取
根据推论4,选取适当的使盖尔圆变大或变小,可以对特征值进行隔离。但有时这种隔离特征值的方法会失效,如对于那些对角线上由相同元素的矩阵,此时盖尔圆的圆心相同。
广义特征值与极小极大原理
广义特征值问题
1、定义:设A、B为n阶方阵,若存在数,使得方程存在非零解,则称为A相对于B的广义特征值,x为A相对于B的属于广义特征值的特征向量。
是标准特征值问题的推广,当B=I(单位矩阵)时,广义特征值问题退化为标准特征值问题。
特征向量是非零的
广义特征值的求解
或者
特征方程
求得后代回原方程可求出x
本课程进一步考虑A、B厄米且为正定矩阵的情况。
2、等价表述
B正定,存在 ,广义特征值问题化为了标准特征值问题,但一般来说,一般不再是厄米矩阵。
B厄米,存在Cholesky分解,,G满秩
令
则 也成为标准特征值问题。
为厄米矩阵,广义特征值是实数,可以按大小顺序排列,一定存在一组正交归一的特征向量,即存在满足
还原为 (i=1,2,,n),则
(带权正交)
瑞利商
A、B为n阶厄米矩阵,且B正定,称为A相对于B的瑞利商。
线性无关,所以,,存在,使得
●
证明: k为非零常数
可取,
(闭区域)
当或时,
另一方面,
[证毕]
当B=I时,标准特征值问题 ()
则
进一步分析可得
定理1.设 ,则
这一结果不便于应用,希望对上述结果进行改造,改造成不依赖于的一种表达方式。
和的情况均对应于x在(n-1)维的子空间内变动,x在L中变动是在一个(s-r+1)维子空间中变化。
一般的,x在的(n-1)维子空间中变动时,
即,对于不同的,的最小值及最大值有可能不同,其中各个最小值中最大者为,各个最大值中的最小者为
定理2. 设是的一个k维子空间,则
以上两式称为广义特征值的极小极大原理。
B=I时,标准特征值问题同样存在上述关系。
矩阵奇异值问题: (非零)
作业:P262 2,3,4
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