特征值和特征向量.doc

第五章　矩阵的特征值 §1.矩阵的特征值和特征向量 一、矩阵的特征值的定义 定义1：设为n阶矩阵，是一个数，如果存在非零n维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。 下面讨论一般方阵特征值和它所对应特征向量的计算方法。 设是n阶矩阵，如果是的特征值，是的属于的特征向量， 则 因为是非零向量，这说明是齐次线性方程组 的非零解，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的行列式等于零，即 ＝0 而属于的特征向量就是齐次线性方程组的非零解。 定理1：设是n阶矩阵，则是的特征值，是的属于的特征向量的充分必要条件是是＝0的根，是齐次线性方程组的非零解。 定义2：称矩阵称为的特征矩阵，它的行列式称为的特征多项式，＝0称为的特征方程，其根为矩阵的特征值。 由定理1可归纳出求矩阵的特征值及特征向量的步骤： （1）计算； （2）求＝0的全部根，它们就是的全部特征值； （3）对于矩阵的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系：为矩阵的秩；则矩阵的属于的全部特征向量为： 其中为不全为零的常数。 例1 求的特征值及对应的特征向量。 解：＝ ＝ 令＝0得： 当时，解齐次线性方程组 即： 可知，取为自由未知量，对应的方程为 求得一个基础解系为，，所以的属于特征值1的全部特征向量为，其中为不全为零的常数。 当时，解齐次线性方程组 ，取为自由未知量，对应的方程组为 求得它的一个基础解系为，所以的属于特征值-2的全部特征向量为，其中是不为零的常数。 例2 求的特征值及对应的特征向量。 解：＝ 令＝0，　解得：。 对于，解齐次线性方程组 ，－的秩为2，取为自由未知量，对应的方程组为，求得它的一个基础解系为，所以的属于特征值0的全部的特征向量为，其中K为不为零的常数。 例3 求的特征值及对应的特征向量。 解：＝ ＝ 令＝0解得： 当时， ，取为自由未知量，对应的方程组为，解得一个基础解系为，所以A的属于特征值-1的全部特征向量为，其中是不为零的常数。 当时， ，取为自由未知量，对应的方程组为，解得一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为，其中是不为零的常数。 当时， ，取为自由未知量，对应的方程组为，解得一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为，其中是不为零的常数。 例4 已知矩阵有一个特征向量，求的值。 解：由已知有： ＝ 得：，　所以有： 练习：（1）求矩阵的特征值及相应的特征向量。 解：的特征向量为； 的特征向量为（不全为零）。 （2）已知矩阵有一个特征向量，试求及所对应的特征值。 解：设是特征向量所对应的特征值，由定义得： ＝ 解得：，，。 二、特征值、特征向量的基本性质 （1）如果是的属于特征值的特征向量，则一定是非零向量，且对于任意非零常数K，K也是的属于特征值的特征向量。 （2）如果是的属于特征值的特征向量,则当时，也是的属于特征值的特征向量。 证：）＝ （3）n阶矩阵A与它的转置矩阵有相同的特征值。 证： 注：同一特征值的特征向量不一定相同；的特征矩阵不一定相同。 （4）设，则 （a） （b） 推论：A可逆的充分必要条件是A的所有特征值都不为零。即 。 定义3：设，把A的主对角线元素之和称为A的迹，记作，即：＝。 由此性质（ａ）可记为＝ (5）设是A的特征值，且是A属于的特征向量，则 （a）是的特征值，并有（）＝（） （b）是的特征值，＝ （c）若A可逆，则且是的特征值，＝。 证：因为是A属于的特征值，有， （a）两边同乘得：，则是的特征值。 （b）＝ ， 则是的特征值， （c）因为A可逆，所以它所有的特征值都不为零，由＝， 得：，即： 再由，两边同除以得： ＝， 所以且是的特征值。 例1 已知三阶方阵A，有一特征值是3，且，求A的所有特征值。 解：设A的特征值为3，，由上述性质得： ＝6 ＝6 由此得： 例2 已知三阶方阵A的三个特征值是1，-2，3，求 （1），（2）的特征值，（3）的特征值，（4）的特征值。 解：（1）＝1＝-6 （2）的特征值：1，，； （3）的特征值：1，2，3； （4）＝＝-6，则的特征值为：-6 即为：-6，3，-2。 例3 已知矩阵，且向量是逆矩阵的特征向量，试求常数。 解：设是对于的特征值，所以＝，即 得：或 例4 设A为n阶方阵，证明的充要条件是0为矩阵A的一个特征值。 证明：0为矩阵A的一个特征值 例5 若，则A的特征值只有是零。 证明：设是矩阵A的任一特征值，是对应的特征向量，则 ∴，而，所以 练习：已知矩阵有特征值（二重），，试确定之值。 解：因为矩阵的全部特征值之和等于其主对角线上元素之和， 故有：，解得： §2.相似矩阵 一、相似矩阵的定义 定义1：设A、B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得成立，则称矩阵A与B相似，