特征值求法.ppt

* §5.2 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的 应用，如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题， 数学领域中方阵的对角化、微分方程组的解、迭代 法求线性方程组近似解等问题都会用到该理论。 和维非零向量 设A是阶方阵，如果数 定义8 使关系式 成立， 非零向量 称为A的属于特征值 的特征向量. 为方阵A的特征值, 则称数 那么 的任何一个非零倍数 也是A的 这说明属于同一个特征值 的特征向量不是唯一的，但一个特征向量只能 属于一个特征值。 所以 的特征向量。 属于 向量， 如果 是矩阵A的属于特征值 的 特征 这是因为 可以写成齐次线性方程组 方程组有解 即 上式是以 为未知量的一元n次方程，称为方阵A 的特征方程， 是 的n次多项式，记为 称为方阵A的特征多项式。 显然，方阵A的特征值就是其特征方程的解。 特征方程在复数范围内恒有解，其解的个数 为方程的次数（重跟按重数计算），因此n 阶方阵有n个特征值。显然，n阶单位矩阵E 的特征值都是1。 设n阶方阵 的特征值为 则有 （1） （2） 如果 是方阵A的一个特征值， 求得非零解 则 就是A 的对应于特征值 的特征向量。 由以上分析知： 求方阵的特征值和特征向量实际上就是求行列式和 方程组的解。 程组 由线性方 例7 求矩阵 的特征值与特征向量。 解 A的特征多项式为 故A的特征值为 当 时,由 即方程组 解得基础解系为 就是A的一个属于特征值 的特征向量， A的属于特征值 的所有特征向量为 当 由 即方程组 解得基础解系 A的属于特征值 的所有特征向量为 就是A的一个属于特征值 的特征向量， 例8 求矩阵 的特征值与特征向量。 解 A的特征多项式为 A的特征值为 当 时， 即方程组 由 求得基础解系 就是A的一个属于特征值 的特征向量， A的对应于特征值 的所有特征向量为 （k为不等于0的任意常数）. 当 时， 解得基础解系 就是A的一个属于特征值 的特征向量， A的对应于特征值 的所有特征向量为 可得方程组 由 例9 求矩阵 的特征值与 特征向量。 解 A的特征多项式为 A的特征值为 当 时， 即方程组 解得基础解系 就是A的一个属于特征值 的特征向量， A的属于特征值 的所有特征向量为 由 当 时， 解得基础解系 就是A的属于特征值 的特征向量， 的所有特征向量为 可得方程组 由 A的对应于 在例9中，1是A的2重特征根，A对应于特征值 1的线性无关的特征向量有两个，即 的基础解系，由两个解向量组成， 在例8中，1也是A的2重根，但A对于特征值1的 线性无关的特征向量却只有一个，即 的基础解系只有一个解向量组成。 对于一阶矩阵A，如果 是A的 k重特征根， 个数不大于k， 所含向量的个数不大于k. 可以证明， 的线性无关特征向量的 则A对应于 的基础解系 也就是说， 例10 A的特征值只有0和1。 设方阵A是幂等矩阵（即 ），试证 证 设 是A的特征值， 是A的对应于 的 特征向量，则 于是 所以， 即 所以 由例10的证明可以看出， 则 是 的特征值。 是方阵A的特征值，则 是 的特征值； 是 的特征值， 其中 是方阵A的特征值， 若 按此类推，不难证明 若 例11 已知三阶矩阵A的特征值分别为1，-1，2， 矩阵 试求矩阵B的特征值。 解 因 故 于是矩阵B的特征值分别为 *