第五章5.1第二型曲线积分.ppt

例5. 求 例7. 设 例8. 备用题 1. 2. 设曲线C为曲面 4. 两类曲线积分的联系 ? 对空间有向光滑弧? : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 线移动到 向坐标原点, 其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比. 沿直 求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指 一质点在力场F 作用下由点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 与曲面 从 ox 轴正向看去为逆时针方向, (1) 写出曲线 C 的参数方程 ; (2) 计算曲线积分 解: (1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 第一节 一、第二型曲线积分的概念与性质 二、第二型曲线积分的计算法 三、两种曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二型曲线积分 第五章 1.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿平面曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 oxy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 “分割” “替代” “求和” “取极限” 常力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) “分割”. 2) “替代” 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 所做的功为 F 沿 则 用有向线段 上任取一点 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) “求和” 4) “取极限” (其中d 为 n 个小弧 段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义. 设 L 为Oxy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 曲线, L分割成n个有向小弧段， 在 弧段 在 x 轴和 y 轴上的投影分别为 在 L 上有界。用分点 上任取一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 把有向曲线 第 i 个小 作和 记λ 为 n 个小弧段长度的 最大值，如果无论L怎样分割 也无论点 上怎样选取，极限 总是存在,且为常数，则称此极限为向量值函数 在有向曲线弧 L 上 或对坐标的曲线积分, 的第二型曲线积分.记作 其中, L 称为积分曲线或 积分路径 . 称为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 被积函数 , 若 ?为空间曲线弧 , 可定义 ?上的第二型曲线积分 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 若曲线L为一条封闭曲线时，则积分记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质 (1) 若 L 可分成 二条有向光滑曲线弧 (2) 用 -L 表示与 L 的方向相反的曲线弧 , 则 则 1.2 两种曲线积分之间的关系 设Г是空间有向光滑曲线，起点A,终点B,取以弧长 s 曲线 Г 的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为参数, 曲线Г的参数方程为 起点A和终点B的坐标表示为 方向余弦为 当L为平面曲线时 则两类曲线积分有如下联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 ?为空间曲线弧 , 记 若记 , 对坐标的曲线积分也可写作 类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例中的变力做功等于 1.3 第二型曲线积分的计算方法 定理: 在有向光滑曲线 L上有定义且 参数方程为 则曲线积分 连续, L的起点为A,终点为B， 证明: 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入 当L从起点A变到终点B时，参数 t 从α变到β， 代入 特别是, 如果 L 的方程为 则 定理 目录 上页 下页 返回 结束 如果 L 垂直于 x 轴 如果 L 垂直于 y 轴 对空间光滑曲线弧 ?: 类似有 定理 目录 上页 下页 返回 结束 对空间光滑曲线弧 ?: 类似有 定理 目录 上页 下页 返回 结束 如果 Г 垂直于 x 轴 如果 Г垂直于 y 轴 如果 Г垂直于 z 轴 例1. 计算 其中L为 (1)圆 的一段弧（如图） (2) 有向折线 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 原式 起点 终点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 有向折线 例2. 计算 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解: 机动