第八章 矩阵位移法3.ppt

8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 结构要考虑结点位移协调、受力平衡，必须引入结构坐标系。 坐标转换: 两种坐标系下的量存在着相互转换关系。 一.杆端位移、杆端力的坐标变换 两个坐标系下的单元杆端位移 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 转换关系式为： 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 杆端 i 位移分量的坐标转换矩阵 t 为 杆端 j 局部坐标下的位移分量转换关系式： 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 两个坐标系下的杆端位移之间的转换关系为： 两个坐标系下的杆端力之间的转换关系为： 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 　　为单元坐标转换矩阵。 对正交坐标系 t 和 T 是正交矩阵，即 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 对于平面桁架 等截面梁单元的结构坐标系与局部坐标系一致，无坐标变换问题。 二.单元刚度矩阵的坐标变换 平面杆单元在局部坐标系中的刚度方程为： 将式 代入上式，得 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 上式等号两边左乘 ， 记 平面杆单元在结构坐标系中的刚度方程为： 三.单元刚度矩阵分块 刚架单元结构坐标系中单元刚度方程为： 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 按结点i、j分块 子块 表示 j 端的一组单位位移引起的 i 端的一组杆端力。 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 单元刚度矩阵是对称矩阵，有 由分块后的单元刚度方程可得 单元刚度系数的意义 中的每个元素称为单元刚度系数。 注：结构坐标系 　　表示第 l 行、第m列的元素；即第m号杆端位移分量为1时引起的第l号杆端力。 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 例：忽略轴向变形的竖直杆单元，求在图示整体坐标中的单元刚度矩阵的第1列元素。 答案 四.坐标变换示例 例1 求图示桁架①、②单元结构坐标下的单元刚度矩阵。各杆 ， 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 　解： ①单元 ，T 为单位矩阵，因此结构单元刚度矩阵和局部单元刚度矩阵相同。 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 ②单元 　　　　　，引入记号 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 例２ 求图示结构整体坐标中各单元的单刚矩阵，已知：E=200GPa， 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 局部坐标系中①②③单元的单元刚度矩阵 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 ②单元 ，T 为单位矩阵 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 ①、③单元 cosθ=0，sinθ=1 坐标转换矩阵为 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 单元①、③整体坐标中的单元刚度矩阵 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 单元①、③整体坐标中的单元刚度矩阵 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 例3 试求图示平面刚架① 、 ② 、 ③ 单元在结构坐标下的单元刚度矩阵。 各杆EA＝7.2×106 kN，EI＝2.16×105 kN.m2。 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 解 局部坐标下① 、 ② 、 ③ 单元的单元刚度矩阵： 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 ① 、 ②单元长度 ， 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 ③单元长度 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 ①单元 由此可得坐标转换矩阵，为： 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 ①单元结构坐标下的单元刚度矩阵为： 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 ②单元结构坐标系与局部坐标系一致， 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 ③单元 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 ③单元结构坐标下的单元刚度矩阵为： ， 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 杆端 i 局部坐标下的位移分量表示为： 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 i j 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换 8-3 局部坐标系向结构坐标系的变换