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第十一章 多元函数积分学Ⅱ 教研室：高等数学 研室 师姓名：杨甲山 课程名称 高等数学I （2） 授课专业及班次 授课内容 曲线积分、曲面积分 授课方式及学时 讲授，14 学时 通过本章的学习, 要使学生理解曲线积分与曲面积分的概念；熟练掌握格林公式 及其应用；掌握曲线积分的计算法；知道曲线积分的性质，曲面积分的概念及高斯公 式，斯托克斯公式。会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会计算曲面积分，能用 曲线积分表达一些几何量与物理量。在传授知 的同时，要通过各个教学环节逐步培 目的与要求 养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、几何直观能力，还 要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力，同时使学生在综合运用所学知识特别 是数学知识和方法去分析问题和解决问题的能力得到培训和提高，为后继课程的学习 和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 重点：曲线积分的计算、格林公式、曲线积分与路径无关、高斯公式。 重点与难点 难点：第二类曲面积分，高斯公式、斯托克斯公式。 第十一章 多元函数积分学II(14 学时) 第一节 对坐标的曲线积分的概念 1 学时 第二节 对坐标的曲线积分的计算 1.5学时 讲授内容 第三节 曲线积分与路径无关的条件 3.5 学时 及 第五节 对坐标的曲面积分的概念 1.5学时 时间分配 第五节 对坐标的曲面积分的计算 1.5学时 第六节 高斯公式与斯托克斯公式 2 学时 第七节两类曲线积分、曲面积分的联系 2 学时 本章总结或习题解答 1 学时 具 1、 《高等数学》,北京邮电大学数学 研室编,北京邮电大学出版社,2000. 参考资料 2、 《高等数学》,湖南省21 世纪数学 编写组编, 复旦大学出版社, 2007. 3、 《高等数学教与学参考》，阎国辉编，西北工业大学出版社，2003. 153 第十一章 多元函数积分学Ⅱ 上一章已介绍了对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分，我们称之为第一类曲线积分和第一类曲面积 分，本章先讨论第二类曲线、曲面积分，即对坐标的曲线和曲面积分，然后讨论两类曲线积分、曲面积分 之间的联系. 第一节 对坐标的曲线积分的概念 一、引例 变力沿曲线所做的功 设质点受力 F （x ，y ）=P （x ，y ）i+Q （x ，y ）j 的作用沿平面光滑曲线L 从A 点运动到B 点，其中P （x ，y ），Q （x ，y ）在L 上连续，求在上述移动 过程中变力F （x ，y ）所做的功 （图11-1 ）. 图11- 1 我们知道，如果F 是常力，且质点沿直线从A 运动到B ，那么常力F 所作的功W 等于两个向量F 与AB 的数量积，即 W=F AB . 现在F （x ，y ）是变力，且质点沿曲线L 运动，功 W 不能直接按以上公式计算，我们仍采用“分割、 近似、求和、取极限” 的办法来处理这个问题. 在曲线弧L 上