第十二章 虚位移原理.ppt

* * * 第十二章 虚位移原理 ※ 引 言 ※ 约束及其分类 ※ 自由度和广义坐标 ※ 以广义坐标表示的质点系平衡条件 ※ 虚位移原理 ※ 虚位移和理想约束 ※ 质点系在有势力作用下的平衡问题 ※ 结论与讨论 引 言 ? 虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题， 是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束 的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚 位移原理求解比列平衡方程更方便。 ? 虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍 方程， 又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍 的方法。这些理论构成分析力学的基础。 §12-1 约束及其分类 约 束——物体运动所受到的限制 1. 几何约束与运动约束 y x O A A0 l 几何约束 在质点系中，所加的约束只能限 制各质点在空间的位置或质点系的 位形。 C O y x uC C* 运动约束 在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。 O y x A xB yB xA yA B uA 2. 定常约束与非定常约束 定常约束－约束方程中不显含时间的约束： 定常约束 非定常约束－约束方程中显含时间的约束： y x u O M 3. 单面约束与双面约束 双面约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。 B y x O 单面约束 —— 约束方程不能写成等式、但是可以写成 不等式的约束。 B y x O 4. 完整约束与非完整约束 完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。 C O y x uC C* 圆轮所受约束为完整约束。 非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不 可以积分的约束。 约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。 O y x A xB yB xA yA uA B ? §12-2 广义坐标与自由度 ? y x O ? l A(x, y) y x O A(x1, y1) B(x2, y2) a b 广义坐标 —— 确定质点 系位形的独立参变量。 广义坐标 —— 确定质点系位形的独立参变量。 用 q1，q2，…表示。 自 由 度 —— 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变 量的数目等于系统的自由度数。 对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的 函数形式 N=3n—s §12-3 虚位移和理想约束 1. 虚 位 移 x y O B A M F 质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移——虚位移 （1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移； （2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许； （3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同； （4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。 虚位移与实位移的区别和联系 （1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个； 实位移——质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间隔内发生的位移。 （2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。 M M1 dr dre ?r dr ——实位移 ? r ——虚位移 2. 虚 功 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。 ? W = F· ? r 3. 理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。 ? W = M· ? ? ∑FNi · ? ri = 0 §12-4 虚位移原理 Fi FNi m1 m2 mi ? ri Fi ——主动力 FNi——约束反力 ? ri——虚位移 Fi + FNi = 0 Fi · ? ri + FNi · ? ri = 0 ∑Fi · ? ri + ∑FNi · ? ri = 0 ∑FNi · ? ri = 0 ∑Fi · ? ri = 0 对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零——虚位移原理 ∑Fi · ? ri = 0 上式称为虚位移原理的解析表达式 应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法： （1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系； （2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变