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§ 6.7 矩阵的秩、齐次线性方程组的解空间 学习向量空间的理论目的是为了应用，对矩阵的秩与线性方程组的解的结构有更深入的理解。 Ⅰ°首先看矩阵的秩的几何意义： 设 A的每一行可看作Fn的行向量，称为A的行向量，并称为A的行空间；A的每一列可看作Fm的列向量，称为A的列向量，并称为A的列空间。 当m≠n时，A的行空间与列空间是两个不同的向量空间，但这是本节主要目的之一。为此给出 引理6.7.1：设为阵， （ⅰ）若B=PA，P为m阶可逆阵，则B与A有相同的行空间 （ⅱ）若C=AQ，Q为n阶可逆阵，则C与A有相同的列空间 定理6.7.2：一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数，并且等于这个矩阵的秩。 Ⅱ°考察线性方程组 1° （1） ，其中为A的列向量。 （※） 若方程组有解，则可由线性表示，因而有 方程组系数阵的列空间=增广阵的列空间 反之，若的列空间与的列空间相等，即因而可由线性表示方程组有解 于是，我们立刻得到线性方程组有解的充分条件是 2°线性方程组的解的结构。 先看齐次方程组 （2） 上述方程每一个解都可看作Fn的一个向量，并称（2）的解向量，设 为（2）的两个解向量。则 为（2）的一个解向量，同时齐次线性方程组（2）永远有解，因此（2）的所有解向量作域F一个子空间。我们称为齐次方程组的解空间 现设（2）的系数阵的秩为，与这个矩阵相当的齐次方程组是 （3） 其中就是对未知量重新编号 方程组（3）有个自由未知量依次让它们取值 我们得到（3）的n-r个解向量： ， ，…… 这个解向量虽然线性无关 ① 另一方面，设为（3）的任一解向量，代入得 构成（3）的解空间的一个基。 重新排列每一解向量中坐标的次序，就得到齐次方程组（2）的解空间一个基，于是我们有 （※）定理6.7.3：数域F上一个n个未知量的齐次方程组的一切解构成Fn的一个子空间，称为这个齐次方程组的解空间。若齐次方程组的系数阵的秩为r，则它的解空间的维数为n-r , 并称这个解空间的一个基为这个齐次方程基础解系。 现在给出一般列齐次线性方程组的解的结构： 设 （4） 称 （5） 为非齐次方程组的导出齐次方程组。 定理6.7.4 ：若非齐次方程组成（4）有解，则（4）的一个解与导出齐次方程组的一个解的和是（4）的一个解。（4）的任意解都可写成（4）的一个固定解与（5）的一个解的和。