第十章--2.-对坐标的曲线积分.pptVIP

第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十章 四、举例 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1.问题: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 变力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. 1) “大化小”. 2) “常代变” 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 所做的功为 F 沿 则 用有向线段 上任取一点 在 3) “近似和” 4) “取极限” (其中? 为 n 个小弧段的 最大长度) 2.定义 类似地定义 存在条件： 组合形式 推广 性质 说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 定积分是第二类曲线积分的特例. 二、对坐标的曲线积分的计算 定理 一代、二换、三定限 曲线积分化成参变量的定积分 代 将 L 的参数方程代入被积函数 换 定限 下限——起点参数值 上限——终点参数值 特殊情形 三、两类曲线积分之间的联系 设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为 已知L切向量的方向余弦为 则两类曲线积分有如下联系 类似地, 在空间曲线 ?上的两类曲线积分的联系是 令 记 A 在 t 上的投影为 有向曲线元 例1. 计算 其中L 为沿抛物线 解法1 取 x 为参数, 则 解法2 取 y 为参数, 则 从点 的一段. 例2. 计算 其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为 (2) 取 L 的方程为 则 则 例3. 计算 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解: (1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 思考题 思考题解答 曲线方向由参数的变化方向而定. 例4. 求 其中 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 ? 的参数方程(空间曲线的参数表示) 选择例5. 将积分 化为对弧长的积 分, 解： 其中L 沿上半圆周 小结 1、对坐标曲线积分的概念 2、对坐标曲线积分的计算 3、两类曲线积分之间的联系 作业 P141 3 (2), (4), (6); 4 (1), (3) ①．设曲面的方程为： 如图， 重积分的应用：曲面的面积 曲面S的面积元素 ②．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： ③．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 *