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-近自由电子近似理论(精品).doc
§5-3 近自由电子近似理论
这是能带理论中一个简单模型。该模型的基本出发点是晶体中的价电子行为很接近于自由电子,周期势场的作用可以看作是很弱的周期性起伏的微扰处理。仅管模型简单,但给出了周期场中运动的电子本征态的一些最基本特点。
5.3.1模型与零级近似
这个模型的基本思想是:模型认为金属中价电子在一个很弱的周期场中运动(如图5-3-1),价电子的行为很接近于自由电子,又与自由电子不同。这里的弱周期场设为 ,可以当作微扰来处理,即:
(1)零级近似时,用势场平均值代替弱周期场V(x);
(2)所谓弱周期场是指比较小的周期起伏做为微扰处理。
为简单起见,我们讨论一维情况。
零级近似下,电子只受到作用,波动方程及电子波函数,电子能量分别为:
……………………………………(5-3-1)
由于晶体不是无限长而是有限长L,因此波数k不能任意取值。当引入周期性边界条件,则k只能取下列值:,这里l为整数
可见,零级近似的解为自由电子解的形式,故称为近自由电子近似理论。
5.3.1微扰计算
根据量子力学的微扰理论,可以知道:
首先计算能量的一级修正:
…………………………………………(5-3-7)
因此有能量的一级修正为零,必须根据(5-3-4)计算二级修正:
因为……………………………(5-3-8)
代入波函数表达式并按原胞划分,可得:
…………………………………(5-3-9)
这里令,则,因此有:
……………………………………(5-3-10)
整理上式为:………………………………(5-3-11)
下面分为两种情况讨论:
(1)当时,有,则设
所以二级修正为:……………………………(5-3-12)
(2)时,有,则有
所以,在周期势场的情况下,计入能量的二级修正后晶体中电子的能量本征值为:
……………………………(5-3-13)
5.3.3 重要结论
1、能带与禁带
在零级近似中,电子作为自由电子,其能量本征值与k的关系曲线是抛物线,在周期势场的微扰下,曲线在处断开,能量突变值为,如图5-3-2所示。在诸能带断开的间隔内不存在允许的电子能级,称为禁带,禁带的位置及宽度取决于晶体的结构和势场的函数形式。
另一方面,对于波矢而言,N很大,故k很密集,可以认为是k的准连续函数,这些准连续的能级被禁带隔开而形成一系列能带1,2,3…。不难算出,每个能带所对应的k的取值范围都是2π/a,即一个倒格子原胞长度,而所包含的量子态数目是N,等于晶体中原胞的数目。
总体称为能带结构(n为能带编号),相邻两个能带与之间可以相接,重叠或是分开,对于一维周期性势场来说属于分开情况,则出现带隙——禁带。
2、能带的图示
从能量角度来看,可以将标志电子状态的波矢k分割成许多区域,在每个区域内电子能级E(k)随波矢k准连续变化并形成一个能带。波矢k的这样一些区域即为布里渊区。
根据图5-3-2,对应第一能带的k的取值范围称第一布里渊区或简约布里渊区,同理,对应第n个能带的k的取值范围则称为第n布里渊区。
函数与k的关系图称为能带表示图示,一般有三种不同的表示。
(1)简约布里渊区图示
在这种表示中,k为简约波矢,即k限制在第一布里渊区内。E(k)是k的多值函数,为区分,将其按能量由低到高标记为,…,图5-3-3为一维情况。这种图示的特点是在简约布里渊区表示出所有能带,可以看到能带结构的全貌,E(k)是k的多值函数,通常都采用这种图示。
(2)重复区图示
第一布里渊区的每个能带在整个k空间周期性重复,如图5-3-4所示。其特点:每个布里渊区都表示出所有的能带,E(k)是k的周期函数。
(3)扩展区图示
按能量由低到高的顺序,分别将能带k限制在第一布里渊区、第二布里渊区,…等等。一个布里渊区表示一个能带,如图(5-3-5)所示。其特点是:E(k)是k的单值函数,一个布里渊区表示一个能带。
5.3.4 三维情况推广
三维晶格的情况可以用完全类似的方法进行讨论,这里只将一维情况推广到三维情况,给出必要的结果。
1、波动方程
………………………………………………………………(5-3-14)
其中,而。
2、零级近似
…………………………………………………………………………………(5-3-15)
……………………………………………………………………………………(5-3-16)
其中k在周期性边界条件下取分立的值:
,…………………………………………………………………(5-3-17)
而………………………………………………………………(5-3-18)
3、微扰计算
……………………………………………………………………(5-3-19)
……………………………………………………………………………(5-3-20)
………………………………………………………………
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