卡尔曼滤波ppt教学.ppt

第六章　卡尔曼滤波（The Kalman filtering） 第一节　卡尔曼滤波信号模型第二节 卡尔曼滤波方法第三节 卡尔曼滤波的应用 ６.１　信号模型 ６.１.１状态方程和量测方程 维纳滤波的模型：信号　　可以认为是由白噪声　　激励一个线性系统　　的响应，假设响应和激励的时域关系可以用下式表示： 　　　　　　　　　　　 (6-52) 　上式也就是一阶AR模型。 在卡尔曼滤波中信号　　被称为是状态变量，用矢量的形式表示为　　，激励信号　　也用矢量表示为　　，激励和响应之间的关系用传递矩阵　　来表示， 得出状态方程： 　　　　　　　　　　 　 (6-53) 　上式表示的含义就是在k时刻的状态　　可以由它的前一个时刻的状态　　　来求得，即认为k－1时刻以前的各状态都已记忆在状态　　　中了 　卡尔曼滤波是根据系统的量测数据（即观测数据）对系统的运动进行估计的，所以除了状态方程之外，还需要量测方程。 　在卡尔曼滤波中，用表示量测到的信号矢量序列，表示量测时引入的误差矢量，则量测矢量与状态矢量之间的关系可以写成 　　　　　　　　　 (6-54) 　上式和维纳滤波的概念上是一致的，也就是说卡尔曼滤波的一维信号模型和维纳滤波的信号模型是一致的。 　把式(6-55)推广就得到更普遍的多维量测方程 　 　　　　　　　　　(6-55) 　上式中的称为量测矩阵，它的引入原因是，量测矢量的维数不一定与状态矢量的维数相同，因为我们不一定能观测到所有需要的状态参数。 ６.１.２　信号模型 　根据状态方程　　　　　　　　　　　和量测方程　　　　　　　　　　，卡尔曼滤波的信号模型，如图6.12所示。 　　　　　　 　　　　　　图6.12 卡尔曼滤波的信号模型 【例6-1】设卡尔曼滤波中量测方程为 　　　　　　　　，已知信号的自相关函数的z变换为　　　　　　　　 　噪声的自相关函数为　　　　　　，信号和噪声统计独立。求卡尔曼滤波信号模型中的　　和　　。 解：根据等式 　可以求得 　变换到时域得： 　因此 　又因为　　　　　　　， 　所以　　＝1。 ６.２　卡尔曼滤波方法 　　（The method of Kalman filtering） ６.２.１卡尔曼滤波的一步递推法模型 　　把状态方程和量测方程重新给出： 　　　　　　　　 　　　(6-56)　　 　　　 　　　 　　　(6-57) 　　 　　假设信号的上一个估计值　　　已知，现在的问题就是如何来求当前时刻的估计值　　。 用上两式得到的和分别用和表示，得： 　　　　　　　　　 (6-58) 　　　　　　　　 　　　　(6-59) 必然，观测值　　和估计值　　之间有误差，它们之间的差　　称为新息（innovation）： 　　　　　　　　 (6-60) 　显然，新息的产生是由于我们前面忽略了　　与　　所引起的 用新息　　乘以一个修正矩阵　　，用它来代替式（6－56）的　　来对　　进行估计：　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 (6-61) 　由（6－56）～（6－61）可以画出卡尔曼滤波对　　进行估计的递推模型，如图6.13所示 输入为观测值　　，输出为信号估计值　　。 　　　　　图6.13 卡尔曼滤波的一步递推法模型 ６.２.２　卡尔曼滤波的递推公式 　从图6.13容易看出，要估计出　　就必须要先找到最小均方误差下的修正矩阵 　　　，结合式（6－61）、（6－56）、（6－57）得： 　　　　　　　　　　　　　　　　(6-62) 　根据上式来求最小均方误差下的　　，然后把求到的　　代入（6－61）则可以得到估计值　　。 设真值和估计值之间的误差为：　 　误差是个矢量，因而均方误差是一个矩阵，用　　表示。把式（6－62）代入得 　　　　　　　　　　　　　 　　(6-63) 　均方误差矩阵： 　　　　　　　　　 (6-64) 　表示对向量取共轭转置。 　为了计算方便，令 　　　　　　　　　　　 　(6-65) 　找到和均方误差矩阵的关系： 　 　　　　　　　　　　 (6-66) 　把式（6－63）代入式（6－64），最后化简得： 把式