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含绝对值不等式问题分类解析 河南省三门峡市卢氏一高数学组（472200）赵建文 Email:zhaojw1968@ 含绝对值不等式是高中数学中的一类重要不等式，是高考考查的重点和热点之一，本文将含绝对值不等式问题的解法作以分类介绍，共同学们学习时参考. 一、||＞与||＜（＞0）型 例1解不等式||＜1. 分析：本题是||＜（＞0）型，利用＜同解变形原理求解. 解析：原不等式可化为：＜＜1, 解不等式＞得，＜0或＞2； 解不等式＜1得，＜＜， ∴原不等式解集为{| ＜＜0或2＜＜}. 点评：对||＞与||＜（＞0）型含绝对值不等式问题，有两种方法，法1：将看作整体，转化为＜或＞型，利用＜和＞同解变形原理化为不含绝对值的不等式求解；法2：利用绝对值的意义，对绝对值内部分通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对的不等式求解. 二、||＞（＜）型 例2解不等式||＞. 分析：本题可用绝对值意义，对绝对内对绝对值内部分取值的正负通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对的不等式求解. 解析：原不等式可化为：或，解得，＜或＞0， ∴原不等式的解集为{|＜或＞0 }. 点评：对||＞（＜）型不等式问题，有两种方法，法1：利用绝对值的意义，对绝对值内部分取值的正负通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对的不等式求解；方法2：将看作整体，将看作，利用＜和＞同解变形原理化为不含绝对值的不等式求解. 三、||±||＞型 例3解不等式||—||＞3. 分析：本题是||±||＞型，用零点分析法. 解析：法1:分别令=0，=0得，=或=4， 原不等式可化为：（Ⅰ）或（Ⅱ）或(Ⅲ), 解不等式组（Ⅰ）得，＜； 解不等式组（Ⅱ）得，≤＜； 解不等式组(Ⅲ)得，无解， 综上所述，原不等式的解集为{|＜}. 法2：原不等式左边的几何意义是数轴上点到4与的距离之差， 当位于的左边（包括）时，由图可知，点到4与的距离之差恒为7＞3，满足不等式； 当位于与4之间时，如图2所示，当=时，点到4与的距离之差等于3，只有位于的左边时，点到4与的距离之差才大于3，才满足不等式； 当位于4的右侧（包括4）时，如图3所示，点到4与的距离之差恒为，不满足不等式， ∴原不等式的解集为{|＜}. 点评：对||±||＞（＜）型不等式，常用零点分析法，即令各个绝对值内部分分别为0，求出对应的根，将这些根从小到大排成一排，将整个实数分成若干个区间，在每个区间上利用绝对值的意义，去掉绝对值，化为若干个不等式组求解，注意分类时，要做到不重不漏.对||±||＞(或＜）的不等式,还可以利用绝对值的几何意义结合数轴求解. 四、＜||＜型 例4解不等式1＜||＜3. 分析：实质上是含绝对值不等式组，用公式法解,或通过对的正负分类讨论求解. 解析:法1:原不等式等价于：， 不等式（1）的解集为{|＜＜2}, 不等式（2）的解集为{|＜0或＞1}, ∴原不等式解集为{|＜＜0或1＜＜2}. 法2：原不等式等价于：(Ⅰ)或(Ⅱ), 不等式组(Ⅰ)的解集为{|1＜＜2｝, 不等式组(Ⅱ)的解集为{|＜＜0｝, ∴原不等式解集为{|＜＜0或1＜＜2}. 点评：对＜||＜型含绝对值不等式，实质上是含绝对值不等式组，用公式法解；或者通过对正负的讨论，转化为解不等式组或问题. 五、含参数的绝对值不等式 例5解关于的不等式（∈R）. 分析：本题是含参数的绝对值不等式，通过分类讨论化为一般绝对值不等式用公式法求解. 解析：当＜1时，原不等式无解； 当=1时，原不等式化为2＜0，故无解; 当＞1时，原不等式可化为＜＜，解得，＜＜， 综上所述，当≤0时，原不等式无解， 当＞0时，原不等式解集为{|＜＜}. 点评：对含参数的绝对值不等式问题，常通过分类讨论化为一般不等式（组）求解，要做到不重不漏.对含绝对值不等式恒成立问题，注意用数形结合法求解. 对含绝对值不等式问题，关键在于去绝对值，取绝对值有两种方法，一是用公式，二是利用绝对值的意义，通过分类讨论去掉绝对值. 跟踪练习 1. 解不等式 ≤1； 2.解不等式＞5； 3.解不等式＞6； 4.解不等式≤11； 5.解不等式5≤＜11； 6.解不等式＞； 7.解关于不等式＞ 答案： 1.原不等式可化为：≤≤1，解得1≤≤2， ∴原不等式的解集为. 2.原不等式可化为：＜或＞5，解得，＜或＞3， ∴原不等式的解集为{∈R|＜或＞3}. 3.原不等式可化为：＜或＞6， 解得＜或＞4. 4.原不等式等价于或或， 解得≤≤7. 5. 原不等式等价于，解得，＜≤或2≤＜. 6. 原不等式等价于或，解得，＜或＞4. 7. 当＜0时，原不等式解集为R； 当=0时，原不等式化为3＞0，解集为R； 当＞0时，原不等式可化为＜或＞，解得，＜或＞， 综上所述，当≤0时，原不等式解集为R； 当＞0时，原不等式解