哈夫曼树及应用.docVIP

2.9.1 哈夫曼树及应用 ??? 哈夫曼树又称最优树（二叉树），是一类带权路径最短的树。构造这种树的算法最早是由哈夫曼(Huffman)1952年提出，这种树在信息检索中很有用。 结点之间的路径长度：从一个结点到另一个结点之间的分支数目。 树的路径长度：从树的根到树中每一个结点的路径长度之和。 结点的带权路径长度：从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。 树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和，记作： ??????????????????????????????? ??? WPL为最小的二叉树就称作最优二叉树或哈夫曼树。 ??? 完全二叉树不一定是最优二叉树。 ??? 哈夫曼树的构造： （1）根据给定的n个权值{w1,w2,...,wn}构造n棵二叉树的集合F={T1,T2,...,Tn}，其中Ti中只有一个权值为wi的根结点，左右子树为空；（2）在F中选取两棵根结点的权值为最小的数作为左、右子树以构造一棵新的二叉树，且置新的二叉树的根结点的权值为左、右子树上根结点的权值之和。（3）将新的二叉树加入到F中，删除原两棵根结点权值最小的树；（4）重复（2）和（3）直到F中只含一棵树为止，这棵树就是哈夫曼树。 例1： 例2： 结点的存储结构: 构造哈夫曼树的算法说明： #define n????????????????? /* 叶子总数 */#define? m? 2*n-1????? /* 结点总数 */ 证：由性质3，叶子结点数 n0=n2+1，故哈夫曼树结点总数为 n0+n2=n0+(n0-1)=2*n0-1 例3 在解某些判定问题时，利用哈夫曼树获得最佳判定算法。 （a) WPL=0.05*1+0.15*2+0.4*3+0.3*4+0.1*4=3.15 （b)(c) WPL=0.4*1+0.3*2+0.15*3+0.05*4+0.1*4=2.05??????????????????? WPL=0.05*3+0.15*3+0.4*2+0.3*2+0.1*2=2.2 哈夫曼编码 ??? 从哈夫曼树根结点开始，对左子树分配代码“0”，右子树分配代码“1”，一直到达叶子结点为止，然后将从树根沿每条路径到达叶子结点的代码排列起来，便得到了哈夫曼编码。 例，对电文 EMCAD 编码。若等长编码，则 ??? EMCAD = 000001010011100 共15位 设各字母的使用频度为 {E,M,C,A,D}={1,2,3,3,4}。用频度为权值生成哈夫曼树，并在叶子上标注对应的字母，树枝分配代码“0”或“1”: ? 各字母的编码即为哈夫曼编码：? EMCAD = 000001011011 共12位 2.9.2 二叉排序树 ??? 二叉排序树是一种特殊结构的二叉树，它作为一种表的组织手段，通常被称为树表。可以作为一种排序和检索的手段。 定义 二叉排序树或是空树，或是具有下述性质的二叉树：其左子树上所有结点的数据值均小于根结点的数据值；右子树上所有结点的数据值均大于或等于根结点的数据值。左子树和右子树又各是一棵二叉排序树。 对二叉排序树，若按中序遍历就可以得到由小到大的有序序列。如上图，中序遍历得： {2，3，4，8，9，9，10，13，15，18} 二叉排序树的生成 ??? 对任意一组数据元素序列{R1,R2,...,Rn}，要生成一棵二叉排序树的过程为： （1）令R1为二叉树的根；（2）若R2RR1，令R2为R1左子树的根结点，否则R2为R1右子树的根结点；（3）对R3,...,Rn结点的插入方法同上。 例，数据元素序列{10，18，3，8，12，2，7，3}，其生成二叉排序树的过程如下： 二叉排序树中结点的删除 ??? 要求删除一个结点后的二叉树仍是一棵二叉排序树。算法思想，分以下几种情况考虑： （1）被删除的结点是叶子结点，则只需修改其双亲结点的指针既可；（2）被删除结点p只有左子树pL或右子树pR，此时只要使左子树pL或右子树pR成为p双亲结点q的左子树或右子树即可。（3）若被删除结点p的左、右子树均非空，有两种做法： 令pL直接链接到q的左（或右）孩子链域上，pR链接到p结点中序前趋结点s上（s是pL最右下的结点）； 以p结点的直接中序前趋或后继替代p所指结点，然后再从原二叉排序树中删去该直接前趋或后继。