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冲刺小升初数论练习题 将999表示为两质数之和：999=口+口，在口中填入质数。共有种表示法 【解】因为两个奇数的和是偶数，所以将1999表示成两个质数的和，这两个质数中必有一个是偶数，因而也就是2，另一个是　1999－2＝1997即1999＝十 　只有一种填法(我们将2＋1997与1997＋2作为同一种)。 【解】和，它们的和为。 有一列数：l，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个2倍再加上l，那么这列数中的第2008个数除以6， 【解析】这列数除以6的余数有以下规律：1，3，3，1，3，3，1，3，3，…，因为2008÷6=669…1，所以第2008个数除以6余1。 抽屉里放着写有1、2、3、……、100的红色卡片各一张，每次随意拿出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以11的余数，再把这个余数写在一张黄色卡片上放回抽屉里。经过若干次这样的操作后，抽屉里还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片。已知这两张红色卡片上写的数分别是13和49，那么这张黄色卡片上写的数是 。 【解】，所以最后剩下的三张卡片上的数之和除以11的余数是1。 而，除以11的余数是7，那么黄色卡片上的数是。 一种三位数与它的反序数的和等于888，这样的三位数有_________个。 【解析】显然、都没有发生进位，所以、，则，、的情况有1+7、2+6、3+5、4+4、5+3、6+2、7+1这7种。所以这样的三位数有7种。 各位数字均不大于5，且能被99整除的4位数，共有 个。 【解析】设这个四位数为，可以分开成两段，、，则是99的倍数。由于不超过，所以。个位上，所以，。 将9分成2个不大于5的数之和只有1种分法：， 所以、有2种排法，、也有2种排法，那么这样的四位数共有个。 从，，，，…，中取个不同的数，取出的数中任意三个的和能被整除。最大为 。 【解】个不同的数中，任意三个的和能被整除，则其中任意两个数除以的余数相同，且这个余数的倍能被整除，所以这个余数只能是，或者。在中，除以的余数为的有，，…，，共有个；除以的余数为的有，，…，，共有个；除以的余数为的有，，…，，共有个。所以最大为。 已知，那么四位数是 。 【解析】显然末尾有4个0， 于是； 又含有的质因子2的个数超过7个，所以去掉末四位后，得到的新数的后三位是8的倍数，即是8的倍数，可得； 由于能被9整除，所以各位数字和能被9整除， 可得或者15； 由于能被11整除， 奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除， 可得或者 ； 由于与奇偶性相同，所以有： 或，分别解得和， 显然只有前者符合题意。 所以四位数是5140。 设的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，的各位数字之和为，那么 。 【解】 另一方面，由于，所以的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过，即；那么的各位数字之和，的各位数字之和，小于18且除以9的余数为5，那么为5或14，的各位数字之和为5，即。 在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有 种。 【解】 8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”，即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况。 奇数的排列一共有种，对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插，再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有种，所以一共有种。