几个著名的不等式：(文本).doc

几个著名的不等式： 第一课时 二维形式的柯西不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 【课题引入】 除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式.这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具. 1.柯西不等式 定理1 （柯西不等式的代数形式）设，，，均为实数，则 ，其中等号当且仅当时成立. 证明：略. 可用综合法，比较法，分析法证明. 重要变式：设，，，均为实数，则 ，其中等号当且仅当时成立. 几何意义：设，为平面上以原点为起点的两个非零向量，终点分别为，，那么它们的数量积为，而，， 所以柯西不等式的几何意义就是：，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立. 定理2 （柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立. 定理3 （三角形不等式）设，，，，，为任意实数，则： 证明：设，，，因为，所以 . 思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？ 【典型例题】 例1 （课本例题）已知，为实数，证明：. 证明：（略） 例2 （课本例题）求函数的最大值. 证明：∵ . 当且仅当，即时，取最大值. 例3 已知，，求证：. 证明：由柯西不等式得到，即， 开方即得. 例4 设，，，，求证：. 证明：欲证， 只需证， 只需证. 由柯西不等式知是成立的. 所以成立. 例5 设，，为平面上的向量，证明：. 证明：欲证， 只需证 只需证 只需证 只需证 只需证. 由柯西不等式的向量形式可知是成立的. 所以成立. 【随堂练习】 1.已知：，,证明：. 提示：本题可用柯西不等式、三角换元等方法来证明. 2.设为实常数，试求函数 ()的最大值． 解：设，，于是 . 当且仅当时取号. 3.求函数在上的最大值，其中，为正常数． 解： 4.求函数的最大值. 解：∵ ， ∴函数的最大值为. 当且仅当，即时取号. 【课后作业】 1.设，为不相等的正数，试证：. 2.已知椭圆（）的切线交轴，轴的正半轴于，两点，试问：会小于吗？ 解：设切点为（，），则切线方程为， ，，且 （由柯西不等式）. 3.设，求的最大值. 解：设，则，于是 ，即，解得.所以的最大值是. 本题应用柯西不等式的变式求最值，观其式，变其形，灵活自如，实则是一种绝好的方法，但要注意取最值的条件. 4.设，，，证明：. 证明：因为，所以；同理 ，，三式相加即可. 5. 求椭圆上的点到直线的最大距离. 解：设是椭圆上的点，由柯西不等式知 ，即. 所以. 所以，最大距离为. 11.已知，，且，且的值. 解：由柯西不等式知，当且仅当时取等号. 由于，所以 于是，.所以 第二课时 一般形式的柯西不等式 定理4 （柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）. 证明：构造二次函数： 即构造了一个二次函数： 由于对任意实数，恒成立，则其， 即：，即：， 等号当且仅当，即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）. 如果（）全为0，结论显然成立. 柯西不等式有两个很好的变式： 变式1 设，（1，2，…，），则，等号成立当且仅当（）. 变式2 设，同号且不为0（1，2，…，），则：，等号成立当且仅当. 证明：由变式1知.即. 变式3 （积分形式）设，都在可积，则 ，当且仅当取“”号. 【典型例题】 例1 已知，，均为正数，且，求证：. 方法1：（应用均值不等式公式） . 方法2：（应用柯西不等式） 例2 已知，，…，为实数，求证：. 证明：由变式1知， 推论：在个实数，，…，的和为定值为时，它们的平方和不小于，当且仅当时，平方和取最小值. 例3 已知正数，，满足，求的最大值. 解：∵，，，∴ . 例4 已知（1，2，3，4），且，，求证：（1，2，3，4）. 解：由柯西不等式得 即，解得，同理得（2，3，4）. 综合可知：（1，2，3，4）. 例5 设，求证：. 证明：由柯西不等式 又因为互不相等，所以. 【总结提炼】 柯西不等式的应用. 【随堂练习】 1.设，，…，, 则 2.设（1，2，…，）且，求证：． 3.已知，，，求证：. 证明： . 所以. 4. 设是内一点，，，是到三边，，的距离，是外接圆半径，求证：. 证明：由三角形面积公式得，即. 由柯西不等式知. 所以. 【课后作业】 1.设，，，的最小值. 解：由柯西不等式知 即，仅当且时取等号. 2.设，，，的最大值. 解：由柯西不等式得 即，当且仅当时取“”号. 3.之三边长为4，5，6，为三角形內部一点，到三边的距离分別为，，，的最小值. 解：，， 且( 由柯西不等式