几何变换在立体几何解题中的应用.doc

几何变换在立体几何解题中的应用 颜波（石河子第一中学 832000） 一般情况下，平面中的几何变换总是会引起更多人的兴趣，但在空间中，几何变换也同样有趣和有效。本文就此与大家作一些探讨。 对称变换：常见于求折线长度和最小值的问题，化曲为直是突破口。 例1：正方体中，为中点，在截面上，则最小值为 __________ 解：设出点坐标，列出函数表达式似乎可行。 但显然运算量很大，难以凑效，联想对平面几 何中的小河取水问题，可作点关于平面 的对称点，则为中点，只须连， 交平面于点，此时 旋转变换：类似于代数式中的对称变换，当 几何图形具有一定程度的对称性时常可用此变换， 常用到的几何体有球体、正四面体、正棱柱等 例1：正三棱柱中， 若，求证： 解：此题是一道陈题，但参考书上可见的解法 都很不简明，现提供一种旋转变换的解法，视 此三棱柱无上下盖，将其沿一侧棱剪开并摊平， 必然得到下图 显然：与的位置关系同与位置关系完全相同，故以不同方式展开后再重折合为三棱柱，空间中的位置关系亦不变， 三、等积变换：主要有两类，第一类利用平行和换顶点的等体积转换，其解题原理主要是：①等底等高的两棱锥体积相等；②同一锥体变换顶点次序，体积不变③有时要先将某些几何体分割或拼接为柱、锥、体积就较易求解 例1：三棱柱中，、 分别为和上的动点，且， 若，则________ 原题为填空题，容易想到取极端情形求出特例时的 体积即可，即使直接求解一般情形方法也较多。 法（一）：,, 法（二）：将原三棱柱补为如图所示的四棱柱 则 第二类：利用祖暅原理对旋转体进行等积变换，这样的例子在近年来竞赛中俯拾皆是，现借用课本（人教版06年第2版）的一道习题，换个角度证明球的体积公式。 如图，在同一平面上分别放有一个半径为，高为的圆柱，从柱中挖去两个圆锥，它们都以圆柱的中截面的中心为顶点，又分别以圆柱的上下底面为底面。任作一个平行于圆柱底面的平面，分别截这两几何体，得到一圆形界面和一环形截面，易知两截面面积总相等，由原理，球的体积等于挖去圆锥后圆柱剩余部分，即 三、射影变换(与射影几何学中引入无穷远点不同)，在中学阶段，这种变换常见于求无棱二面角，由某些面积问题和最值问题，其解题思想类似于复变函数中的对应和转化，如：求椭圆的面积公式。 如图，半径为的圆柱被一平面所截，若所构成的锐二面角为，则，其中，而椭圆长轴为，即A，短轴为，即，显然，, 以上是我个人的一些见解，不足之处，在所难免，希望能因此而引发大家的一些想法。