函数的平移伸的缩变换口诀之再优化.doc

函数的平移伸缩变换口诀之再优化 关键词：靠近原则，逆向原则。 在教授三角函数的图象这部分内容的时候碰到的平移、伸缩变换问题，学生频繁出现失误，加减乘除总是放到了本不应该出现的位置。于是我思考着：是否有一个更好地方法，更标准的规则，让学生易记不易错呢？ 我们知道，对于函数的平移，有口诀：“左加右减，上加下减。”如： 例1.将函数图象先向上移1个单位长度，再右移个单位长度，求所得图象的函数解析式？ 答案： 其实以上平移口诀的前提是：左右是针对的平移，加或减都在的附近进行；而上下是针对的平移，在原函数式的最后进行加减，其实这个数也可以移到的一侧，直接在附近加减。也就是说上面的式子我们也可以写成：。 通过这个式子，我发现了两个平移的规律： 一、靠近原则。 确定变化的位置，针对哪个变量变换，就在那个变量最近的位置上变换。这里我再次强调“最近”两个字。其实就是运算先后的问题。如： 例2.将函数的图象左移个单位长度，求所得图象的函数解析式？ 错解：。 错在并不是离最近的，因为2离更近，那么要让2远离，可采用加括号的办法。 正解：。 二、逆向原则。 我们看如果把例1的答案写成：的形式，发现在靠近原则的前提下针对平移仍然是左加右减；针对的平移变成了上减下加，与原口诀相反，这都是移项造成的。其实平面直角坐标系中，图象不管是往轴正方向还是往轴正方向平移，相应的、就要减去相应的数，反之则加上相应的数。我把这一特点称为：“逆向原则”。下面我来证明它的正确性： 将函数的图象先向向上移b个单位长度，再左平移a个单位长度。 设P为函数图象上任意一点，它经向上移b个单位长度，再向左平移a个单位长度后变为Q点，则有： 解得： 又因为P在函数图象上，则有 代入得： 所以将函数的图象先向上移b个单位长度，再向左平移a个单位长度所得的函数为。下移与右移可以类比证明。 综上，平移的规则是：1、靠近原则（注意要最近，也就是能最先计算）； 2、逆向原则（即左加右减，上减下加） 经过不断地实践，我还发现，不仅平移变换服从这两个原则，伸缩变换也是服从的。如： 例3.将函数图象纵坐标伸长为原来的3倍。横坐标缩短为原来的倍，求所得的解析式？ 分析：伸缩变换在靠近原则的前提下，逆向原则即是除相应的变化倍数（即乘以相应变化倍数的倒数）。原解析式应变为：， 即 。 我们习惯写成 由此可见，函数的平移伸缩都服从这两个原则，即 1、靠近原则，（注意要最近，也就是能最先计算）； 2、逆向原则（即平移：左加右减，上减下加；伸缩：函数图象伸长为原来的倍，相应的变量乘以，函数图象缩短为原来的倍，相应的变量乘以）。 我们来看一道高考题，检验我们的两个原则对函数的平移伸缩是否有效： （2013福建理20）.已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象。 求函数与的解析式 解：由题周期为，，又因为函数图象的一个对称中心为，。故，解得。所以。 将函数图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到，即 以上例题是基于三角函数来说明的，但是靠近原则与逆向原则也可以应用到其他类型，函数的平移伸缩当中。这两个原则便于学生缕清平移伸缩变换的本质，进一步认识到图像变换与函数解析式的变换联系。