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刚体定轴转动 (Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis) §1 刚体的运动 一、刚体( rigid body) 1.刚体 ·刚体是受力时形状和体积不改变的物体 ---理想化模型。 ·刚体是特殊的质点系，其上各质点间的 相对位置保持不变。 2.刚体的运动形式 ·平动(translation)：可用质心的运动代表 ·转动(rotation)： 分 定轴转动(本章讨论) 定点转动(如陀螺的运动) ·平面运动 (如车轮的运动) ·一般运动：可分解为两种运动 随质心的平动 绕通过质心的轴的转动 二、刚体定轴转动的描述(运动学问题) 1.物理量 ·转动平面：过刚体上某点p垂直于转轴的 平面。 ·转动中心：转动平面与轴的交点 o ·p在转动平面内绕o作圆周运动 ( 可用圆周运动的角量描述 刚体的运动。 (1)角位置： ( (2)角位移： (( (3)角速度： ( (矢量) 大小： 方向：沿轴(指向由右手确定) (4)角加速度：( (矢量) 大小:： 方向：沿轴 ( (( ( (加速转动)；( ((( (减速转动) 2.角量和线量的关系 (1)p点的线速度 ( = ( ( r r ：p点的矢径(由转动中心o引出) (2)p点的线加速度 切向加速度： at = ( (r 法向加速度： an = ( (( 3.典型定轴转动 (1)匀速转动： ( = 0 ( = const. ( - (0 = ( t (2)匀加速转动： §2 转动定律 一、力矩 1.力对轴的矩 设力F在转动 平面内，作用 点在 p M轴 = r ( F 方向：沿轴 (由右手定)； r是 op 思考：如F不在转动平面内，M轴方向如何 确定? 2.力对固定点的矩 M点 = r((F r (是 o(p ( o(是某定点) ·可以证明：M轴 是M点 沿z轴的投影 ·以下把M轴 记作M 二、转动定律 1.推导 ·刚体看作是由很多质元组成 ·质元 i ：质量 (mi 矢径ri (由转动中心引出) 外力Fi 内力 fi ·由牛顿定律，对质元 (mi有 Fi + fi = (mi ai， (ai = ain + ait ) ·以 ri对等式作叉积(从左侧) ri(Fi + ri( fi = (mi ri(( ain + ait ) · ri ( ain = 0 (为什么?) ri(ait = ri(( ((ri) = ri2( [利用了a((b(c) = (a(c)b - (a(b)c] 于是有ri(Fi + ri(fi = (mi ri2( ·对所有质元求和有 ((ri(Fi ) + (( ri( fi) =( ((mi ri2)( ·各项意义 ((ri(Fi )：各质元所受的外力矩之和, 即刚体所受的外力矩 (( ri(fi)：各质元所受的内力矩之和 可证 (( ri(fi) = 0 (见下) ( ((mi ri2)： 称刚体的转动惯量(见下)， 写作 J = ( ((mi ri2) ★证明 (( ri(fi) = 0 每一对内力的内力矩之和都为零 对质元 i和 j，其内力矩之和为 ri(fi + rj(fj = ri(fi + rj((-fi ) =( ri - rj)(fi = 0 [因 ( ri - rj)|| fi ] 可知所有内力矩之和为零。 ·可得转动定律 M = J( [另一证法] ·在刚体上任取一 质元 i ：质量 (mi 矢径ri (由转动中心 o引出) 外力Fi；内力 fi (设均在转动平面内) ·由牛顿定律，对质元 (mi有 Fi + fi = (mi ai ·其切向分量式为 Fi sin(i + fi sin( i = (mi a