初一因式分解的知识梳理.doc

初一因式分解知识梳理 因式分解与分解质因数。 我们来回忆小学的分解质因数： 把24，30分解质因数： ， 那么为什么要分解质因数呢？目前的需要就是进行分数的运算， 例如： 我们来分析计算过程，120是怎样来的呢？是求24和30 的最小公倍数。短除法。 而化简就是求最大公约数。 分解质因数就是把一个整数写成几个质因数积的形式，分解因式和分解质因数在本质上是一回事，分解因式是把一个整式写成几个因式积的形式。它将在以后的分式运算、根式运算、解方程得过程中起重要作用，在整个初中数学的内容中占有基础的重要地位。 需要注意的是：分解因式是把一个整式写成几个整式积的形式。它和我们前面的整式乘法的逆变形，判断一种变形是不是因式分解首先要看最后是不是整式的积的形式。 例如：不是分解因式，因为等号的右面不是积的形式。而应该把它分解为： 我们可以采取乘法还原的方法对分解的结果进行检验。 例如：分解因式： 检验：和分解前的式子一样，所以分解结果是正确的。 提公因式法 什么是提公因式？我们来看原来的简便运算： 分析：在这个运算式中，是和的公因式，运算的过程中利用的乘法分配律实际上就是提公因式。 我们可以同样的把这个运算规律用在代数式的运算上。 例1：， 分析：公因式是怎样得到的呢？先来看系数，6和8的最大公约数是2，再看相同的字母，而和的较低的指数项是，所以公因式是。 例2： 对于比较复杂的运算也是一样的。例3： 在这个运算式子中，把（x-y）看成了一个整体。 平方差公式 我们称为平方差公式，我们来观察这个式子的特点：前面中是两个平方项，并且符号相反。只要式子拥有这样一个特点就可以利用平方差公式。 例如：例1： 例2： 分析：式子中的两项虽然有平方，也是差的形式，但系数并不是平方的形式。想办法写成平方的形式，把系数提出来。当然，也可以把 7提出来。 例2： 分析：在这个式子中，我们分别把和看成一个整体，看成b和a，因为他们是平方差的形式（两个代数式的平方符号相反）所以可以利用平方差公式。 完全平方公式 和我们称之为完全平方公式，这两个式子的特点我们可以简单的记忆为：“首（项）平方，尾（项）平方，首（项）尾（项）两倍中间放”。 例如： 分析：首项是x的平方，尾项是3的平方，首尾两倍即为，而的前面是“+”号，所以等于 在这个式子中把（x+2y）看成了一个整体。可以利用完全平方公式。 十字相乘法 十字相乘法实际上是一种试验的方法： 式子的特点是：前面为x的平方项，x的一次项系数为（a+b），而常数项为ab，我们在计算时，可以利用下面的方法来进行试验。 例如：。怎样来得到的呢？ 可以分解成x和x的乘积，而8可以分解成或，或，在下面得到的式子中只有 和原来要分解的式子是一样的，所以应该分解为：。这样的做法和教材上的做法比较起来是它具有检验功能，不至于出现麻痹大意的错误。 例2： 分析：可以分解为或或或或或等形式，但只有是符合要求的。 例3： 分组分解法 分组分解法以四项为主，四项的分解可以组合成“一项+三项”其中的三项可以考虑完全平方公式，或“两项+两项”其中的两项通常要考虑提取公因式或平方差公式。 例1： 分析：虽然可以利用平方差公式，但后面就不能继续分解了，而是一个完全平方式，所以分组为前三项为一组： 解： 例2： 分析：在这个四项式中虽然第二、三项和第一、四项有公因式，但提取后不能继续分解。而第一、二项可以提取公因式，三四项可以利用平方差公式，并且分解后又有公因式可以提取，所以分组时，第一、二项一组，第三、四项一组。 解： 有些时候，分组的情况并不唯一，只要兼顾前后分解彻底，就是正确的分解方法。 例3： 分析：第一、二项一组有公因式3a，第三、四项有公因式y，而提取以后他们又有公因式（x-y），所以，这是一种行之有效的分组方法；而第一三项有公因式x，第二四项有公因式，并且提取以后还有公因式，所以这种分类方法也可以。 解法一： 解法二： 综合应用 分解因式有时并不是单一方法的应用，而是多种方法的综合应用，一般来讲，我们在分解因式时，先看式子中有没有公因式，再看能否利用公式法（平方差公式和完全平方公式），再看能否利用十字相乘法，最后是分组分解法。可以用下面的口诀来记忆： 首先提取公因式，然后考虑用公式。 十字相乘试一试，分组分得要合适。 四种方法反复试，结果必是连乘式。（简称“提公十分”） 例1： 分析：首先，这三项中有公因式，并且提取公因式后是一个二次三项式，并且可以利用十字相乘法继续分解。 解： 例2： 分析：我们可以把看成一个整体，利用十字相乘法可以进行分解，而分解以后，是两个二次三项式积的形式，并且可以继续分解。 例3： 观察式子的特点，如果把括号都去掉重新组合，势必会出现四次项等高次项，而再进行分组，项数很多，比较复杂，而比较前