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利用均值不等式求最值的几种技巧 重庆兼善中学： 周宇 指导老师 彭建文 摘 要：在现行中学数学中，利用均值不等式求函数的最值问题，是一类常用方法。但学生在利用均值不等式求最值时，常常因为取不到等号，以致解题受阻。所以在解题过程中需要对函数进行适当的变形。由于在变形过程中常用到某些特定的技巧，因而形成难点。本文拟就此介绍几种常用的技巧。 关键词：中学数学；不等式；最值； Abstract: In current mathematics of middle school, the ones that utilized the mean value inequality to ask function nere most worth the question. It is a kind of commonsense method that is worth paying attention to. But students can not often choose the equal sign while utilizing the mean value inequality to be asked and most worthed, so that solve a problem and is obstructed. So need to carry on proper deformation to function in the course of solving a problem. Because nill often use some specific skills in the course of deforming, will from the diffcult point, Severod kinds of commonly used sleills of this introduction in this text. Key Words: mathematics of middle school; inequality; maximllm; 一 引 言 在中学数学中，利用均值不等式求函数最值的问题，是一类值得重视的常用方法。但学生在利用均值不等式求最值时，常常因为取不到等号，以至解题受阴。所以在解题过程中需要对函数进行适当的变形，因而在变形过程中常要用到某些特定的技巧，因而形成难点，本文就此介绍几种常用的技巧。 均值不等式及使用条件： 均值不等式，若，则 （1）是正数； （2）和（）或（）为定值； （3）当且仅当时，取等号。 在运用均值不等式解题时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件。但有的题目不能直接利用均值不等式，因此要作一些技巧性转化、变形，才能求得正确的最值。 二 均值不等式的转化技巧 1．添项 例1：当1时，求的最小值。 解：给原式添加常数项得到 当且仅当时， 2．裂项 例2：设最小值 解 当且仅当，即x=1时，上式取等号。 3．拆项 例3 求函数 解 将分为项，分为m项，则 = 要满足均值不等式条件（2）应将各项的变量x约掉，即 当且仅当时， 4．拆幂 例4 如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积了大值是多少？ 解 设圆柱底面半径为r, 高为h，则 2h+4r=l, V=，所以 5．平方 例5 设，则的最大值是多少？ 解 设， ，故 6．化正 例6 求函数最大值 解 函数中含自变量的项是负数，需要转化为正数。 当且仅当即时等号成立 当时， 7．倒数 例7 设复数，求函数的最大值及对应的值。 解：由，得tg0,且0argz，则， 则，即有时，上式取等号。 由均值不等式取等号条件及正切函数的单调性可知， 当时，时，上式取等号。 由均值不等式等号条件及正切函数的单调性可知 当时， 8、分子常数化 例8 设，求最大值。 解 由已知，对任何，有 ， 又因 故对任何，有 ， 又因 故对任何，有 . 由于，故f(n)的最大值为. 9．参数法 例9 求函数的最小值. 解 引进参数，则 = 方程 有解时，不等式取等号，消去得.即 方程有唯一实数解，即，此时 .函数的最小值为 . 10．连续使用均值不等式 例10 在三棱锥一个顶点处的三个面角都是直角，求它的外接圆半径和内切圆半径R:r的最小值。 解 设指教顶点处三条棱长分别为x、y、z那么由立体几何知识易知 ， ， 所以 当且仅当x=y=z时取等号，所以R:r的最小值为 三 小 结 利用均值不等式求最值是高中数学中常用的方法之一，也是历年高考、竞赛的热点内容。而使用的关键是