利用基本不等的式求最值.doc

利用基本不等式求最值 山东省泰安第一中学 许兴堂 一、学习目标： 1、理解利用基本不等式求最值的原理 2、掌握利用基本不等式求最值的条件 3、会用基本不等式解决简单的最值问题 二、学习重点与难点： 重点：运用基本不等式求最值 难点：利用基本不等式求最值满足的条件 三、学习方法：自主探究式 四、学习过程： 1、探究一：极值定理 问题1：利用不等式，已知，你能求出 的最小值吗？何时取小值？ 问题2：利用不等式，已知，你能求出 的最大值吗？何时取大值？ 问题3：已知 （1）若是定值，求，等号何时成立？ （2）若是定值，求，等号何时成立？ 问题4：你能由问题1—3得出一般结论吗？已知 则：（1）若积（定值），则和有最小值 当日仅当时，取“=”号 （2）若和（定值），则积有最大值 当日仅当时，取“=”号 即：“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”。 自主练习1：①若时，求的最小值. ②若，求的最小值. ③若，求的最大值. 2、探究二：利用基本不等式求最值满足的条件 问题5：若，求的最大值。 条件1：由问题5，你能总结出利用基本不等式求最值时字母必须满足什么条件？ 自主练习2：若，求的最大值。 问题6：①若，求的最小值。 ②若，求的最大值。 条件2：由问题6，你能总结出利用基本不等式求最值时必须满足什么条件？ 自主练习3：①求的最小值。 ②求的最大值。 问题7：若，求的最小值。 条件3：由问题7，你能总结出利用基本不等式求最值时必须满足什么条件？ 自主练习4：求的最小值。 问题8：你能由问题5—7总结出利用基本不等式求最值必须满足的三个前提条件吗？ 3、探究三：简单运用 问题9：（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 【解】（1）设矩形菜园的长为，宽为，则，篱笆的周长为，由可得， 当日仅当时，等号成立。 所以，这个矩形的长，宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆是. （2）设矩形菜园的长为，宽为，则, ，矩形菜园的面积为 由得即 当且仅当时，等号成立. 所以，这个短形的长、宽都为时，菜园的面积最大，最大面积是. 问题10：你能从问题9中举例说明极值定理和必须满足的三个前提条件吗？ 4、探究四：收获和感想 收获：利用基本不等式求最值，主要是运用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”。且必须满足三个前提条件，“一正二定三相等”，即“一正”——字母为正数；“二定”——积或和为定值（有时需通过“配凑法”凑出定值）；“三相等”——等号能否取到，三个条件缺一不可。 感想：自主探究的“若”与“乐”；数学思维的严密性与开放性。 5、探究五：自我反馈与矫正 （1）求的最小值. （2）求的最大值. （3）求的最大值. 6、探究六：课后练习与作业 （1）求的最小值. （2）若求的最小值. （3）求的最大值. （4）求的最小值. 1