加减乘除捆插的隔化.doc

加、减、乘、除、捆、插、隔、化 ——论说解排列组合问题的“八字方针” 浙江省东阳市教研室（322100） 陈继武 排列与组合，虽然是组合数学中最初步的知识，但由于其思想方法较为独特灵活，以致一些学生在学习上很容易出现“一听就懂、一过就忘、一做就错”的不良情况。因此，教师在教学中非常有必要把书本知识进行活化，引导学生通过观察、比较、联想、分析、综合、抽象、概括等思维过程去理解知识、去发现规律、去总结方法。“加、减、乘、除、捆、插、隔、化”就是笔者在解排列与组合问题的思维过程中，挖掘和提炼的思想方法，简称“八字方针”。 加 “加”就是分类计数原理在解题中的运用。完成一件事，有n类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第n类方法中有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。 例1 有一密码为631208的手提箱，现有显示号码为080127，要打开箱子，至少要旋转几次？（每个旋钮上可显示的数字依次为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的任意一个，只要一个旋钮上转出一个新的数字就为一次，逆转与顺转都可以） 思维过程：因为每次旋转都在某一个旋钮上进行，所以可按不同旋钮上的数码变化，分成六类解之。 解：在第一个旋钮上由0转为6，顺转需要6次，逆转则只需要4次，所以在第一个旋钮上至少需要转4次。同理，在第二个旋钮上至少需要转5次；在第三个旋钮上至少需要转1次；在第四个旋钮上至少需要转1次；在第五个旋钮上至少需要转2次；在第六个旋钮上至少需要转1次。因此，要打开箱子，至少需要转4+5+1+1+2+1=14次。 点击“关键”：利用“加”法解题的关键是进行正确分类，分类前必须先确定一个分类的标准，使完成这件事的任何一种方法都属于且只属于其中某一类，也即：类与类之间具有 “互不相交”的集合意义。 减 “减”是分类计数原理在逆方向解题中的运用。完成一件事，当正面直接分类较困难，而不完成这件事的情况却容易分类时，则只需要在完成这件事与否的方法总数中，减去不完成这件事的方法总数即可。 例2 以正方体的顶点为顶点，共可构成多少个四面体？ 思维过程：对四面体分类显然是比较困难的，但是以正方体的顶点为顶点能构成多少个平面四边形，却容易得到。这些平面四边形仅有两类，一类是正方体的表面四边形，一类是正方体的对角面。由此可知，用“减”法便于解决问题。 解：由于以正方体的顶点为顶点可构成个四边形，而正方体的表面四边形有6个，对角面有6个，因此，以正方体的顶点为顶点，共可构成个四面体。 点击“策略”：有时正面直接分类并不困难，但种类繁多，用“减”的方法可达到化繁为简的效果。因此采用“减”的策略是“正难则反”和“正繁则反”。 乘 “乘”就是分类计数原理在解题中的运用。完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。显然，这n个步骤是连续的，只有完成且只需要完成这n个步骤，事情才能完成，即步与步之间存在着“相互串联”的物理意义。 例3 2100有多少个正的约数？ 思维过程：因为，所以2100的正约数必定由质因数2、3、5、7中的某几个相乘而得。因此，2100有多少个正约数的问题，就是质因数2、3、5、7如何分步选取的问题。 解：由可知，质因数2有两个，具有“不选”、“选一个”或“选两个”等3种不同的选法；同时，对于3有2种不同的选法，对于5有3种不同的选法，对于7有2种不同的选法。所以，2100有个正约数。 点击“题型”：对于元素可重复的排列与组合问题，往往需要对不同的元素进行分步考虑。所以，型如“电话号码的编排”、“信件的投寄”和“映射的构建”等问题，直接采用“乘”法都能凑出奇效。 除 “除”是针对问题中具有“对称”关系而采用的一种方法。如果完成一件事中存在着一些特殊的元素，将这些元素相互对换后，并不会影响完成这件事的方法总数，我们就称这些特殊元素具有“对称”关系。 例4 10个人坐成一排，其中甲在乙的左边，甲、乙不一定相邻的坐法共有多少种？ 思维过程：问题中的甲和乙是两个特殊元素，把题中的条件“甲在乙的左边”对换成“乙在甲的左边”，其方法种数是一样的，所以甲与乙具有“对称”关系。“甲在乙的左边”和“乙在甲的左边”的坐法，应各占坐法总数的一半。 解：10个人坐成一排的坐法总数有种，因此，甲在乙的左边的坐法总数为。 点击“拓展”：上述问题可拓展为更一般的“定序”问题。将n个不同的元素排成一列，其中的左边，的左边，……，的左边（不一定相邻），总共有种排法。 另外，在平均分组问题中，由于各组内的元素个数相同，所以组内的元素进行整体对换后，分组总数不受影响，即组与组是“对称”的。因而，平均分组问题同样可运用“除”法解决。例如：把六本不同的书平