§2-6 静电场边值问题 唯一性定理.pptVIP

* §2.6 电位微分方程与边值问题 2.6.1 泊松方程与拉普拉斯方程 推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程： 泊松方程 注意：泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。 拉普拉斯方程 ——拉普拉斯算子 例2.4.1 列出求解区域的微分方程 2.6.2 静电场的边值问题 图2.6.1 三个不同媒质区域的静电场 第二类 边界条件 第一类 边界条件 第三类 边界条件 图2.6.2 边值问题框图 为什么说第二类 边界条件 与导体上给定电荷分 布或边界是电力线的条 件是等价的？ 微分方程 边界条件 边值问题 自然 边界条件 分界面 衔接条件 场域 边界条件 边值问题 研究方法 解析法 数值法 实测法 模拟法 定性 定量 积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法 数学模拟法 物理模拟法 图2.6.3 边值问题研究方法框图 计算法 实验法 作图法 例2.6.1 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为? ，并且在两导体之间接有电源 U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。 解：根据场分布对称性，确定场域。 （阴影区域） 场的边值问题 图 2.6.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面 边界条件 积分得通解 例2.6.2 设有电荷均匀分布在半径为a 的介质球型区域中，电荷体密度为? ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。 解: 采用球坐标系,分区域建立方程 参考点电位 图 2.6.5 体电荷分布的球形域电场 解得 电场强度（球坐标梯度公式）： 对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。 电位： 2. 唯一性定理的重要意义 ? 可判断静电场问题的解的正确性： 2.6.2 唯一性定理 证明： （反证法） 1、唯一性定理 在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理(Uniqueness theorem)。 ? 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。